Producto vectorial

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Definición
Relaciones entre losvectores.

Sean dos vectores \mathbf a y \mathbf b en el espacio vectorial \mathbb{R}^3. El producto vectorial entre \mathbf a\, y \mathbf b\, da como resultado un nuevo vector, \mathbf c\,. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:

El módulo de \mathbf c\, está dado por

c = a \, b \, \sin\theta

donde θ es el ángulo determinado por los vectores ay b.

La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.

El producto vectorial puededefinirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

{\mathbf a \times \mathbf b = {a} \, {b} \, {\sin}{\theta} \ \hat{\mathbf n}}

donde \hat{\mathbf n} es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.[editar] Producto vectorial de dos vectores
Producto vectorial.

Sean \mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k y \mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k dos vectores concurrentes de \mathbb{R}^3 , el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto \times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 , y seescribe \mathbf u \times \mathbf v , como el vector:

\mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix}u_y & u_z \v_y & v_z \end{vmatrix} \mathbf i - \begin{vmatrix}u_x & u_z \v_x & v_z \end{vmatrix} \mathbf j + \begin{vmatrix}u_x & u_y \v_x & v_y \end{vmatrix} \mathbf k

En el que

\begin{vmatrix}a & c \ b & d \ \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c , es el determinante de orden 2.

O usandouna notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

\mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \ u_x & u_y & u_z \ v_x & v_y & v_z \ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \ v_y & v_z \ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i -\begin{vmatrix} u_x & u_z \ v_x & v_z \ \end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \ v_x & v_y \ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de \mathbf u \times \mathbf v es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

La siguienteexpresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:[cita requerida]

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_x\ u_y\ u_z \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} v_x\ v_y\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_yv_z-u_zv_y\ u_zv_x-u_xv_z\ u_xv_y-u_yv_x \end{bmatrix}

[editar] Ejemplo

Elproducto vectorial de los vectores \mathbf a = (2,0,1) y \mathbf b = (1,-1,3) se calcula del siguiente modo:

\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \2 & 0 & 1 \1 & -1 & 3 \end{vmatrix}

Expandiendo el determinante:

\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf i \begin{vmatrix}0 & 1 \-1 & 3 \end{vmatrix} - \mathbf j \begin{vmatrix}2 & 1 \1 & 3 \end{vmatrix}...