Producto vectorial

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Producto vectorial
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Esquema
En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o productoexterno (pues está relacionado con el producto exterior).
Sean dos vectores y en el espacio vectorial ℝ3. El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:
* El módulo de está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
* La dirección del vector c, que es ortogonal a ay ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x, es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

donde es elvector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.

Producto vectorial de dos vectores [editar]

Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto , y seescribe , como el vector:

En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gireen la misma dirección.
Con la notación matricial esto se puede escribir:

Ejemplo [editar]
El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).
Propiedades[editar]
Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. Si y , entonces implica que ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. .
4. , conocida como regla de la expulsión.
5. , conocida como identidad de Jacobi.
6. , siendo θ el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresiónrelaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .
Bases ortonormales y producto vectorial [editar]
Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ3. Se dice que S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:
1. ; es decir, los tres vectoresson ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.
Vectores axiales [editar]
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamientorespecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.
Dual de Hodge [editar]
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