Productos Notables

Introducción

Productos notables

Los productos notables son multiplicaciones entre expresiones algebraicas a los que, debido a la regularidad con la que aparecen en los desarrollos matemáticos, se optó por clasificar en diferentes tipos y estudiar su comportamiento al efectuar las operaciones, con el fin de encontrar una forma que permitiera calcularlos fácilmente.
En este trabajopresentaremos algunas formas:
* Productos notables.
* Binomio al cuadrado.
* Binomio al cubo.
* Binomio conjugado.
* Productos con término común.
* Productos de la forma(x + y)(x2 -xy + y2)
* Productos de la forma (x + y)(X2 -xy + y2)



Productos notables
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicascuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, yrecíprocamente.


Representación gráfica de la regla de factor común:
Ejemplo
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Para esta operación existe una interpretación geométrica. El área del rectángulo
(El producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de lasdos áreas coloreadas: ca y cb.

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

Enambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:

Simplificando:
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primertérmino, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(A − b) 2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x) 2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Descomposición volumétrica del binomio al cubo.
Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
* El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado delprimero por el segundo.
* El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
* El cubo del segundo término.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2+b3
(x+ 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 +33
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el tripe del primero por el cuadrado del segundo, menos, menos el cubo del segundo.
Ejemplos
1(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 =
= x3 + 6x2 + 12x + 8
2(3x − 2)3 = (3x) 3− 3· (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 22− 23 =
= 27x 3 − 54x2 + 36x − 8
3(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 ·5 + 3 · 2x · 52 + 53 = 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

Producto de dos binomios conjugados

Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término...