Profesor de matemática
Páginas: 2 (495 palabras)
Publicado: 6 de mayo de 2013
Teorema: (Fórmula de Herón)
Dado un triángulo cualquiera de lados , y siendo su semiperímetro se tiene que el área de ese triángulo puede calcularse mediante la siguiente fórmula:
Es decir, lafórmula de Herón relaciona directamente el área de un triángulo con las longitudes de sus lados.
Demostración
Supongamos que las longitudes de los lados del triángulo son y los ángulos opuestos a cadauno de los lados son respectivamente. Por el teorema del coseno tenemos que:
Por la identidad fundamental de la trigonometría () tenemos:
Teniendo en cuenta que la altura de un triángulo debase es y desarrollando a partir de la fórmula del área de un triángulo que conocemos ():
También podéis ver una demostración geométrica de esta fórmula en este artículo en MathForum. Probablementepara el caso que nos ocupa sea más apropiadad que la analítica al no utilizar el teorema de Pitágoras ni la identidad fundamental de la trigonometría.
Herón de Alejandría vivió hacia el sigloIII a. de C. Son conocidas varias obras suyas, pero se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados. No es necesariopor tanto conocer la altura ni ninguno de los ángulos. Si llamamos s al semiperímetro y a, b, c a los tres lados:
Llamando al semiperímetro
entonces el área puede expresarse como
La demostración de Herón es realmente sorprendente. Combinando elementos geométricos sencillos llega a construir una de las demostraciones más ricas y elegantes de toda la matemática. Estademostración puede verse en la Gacetilla Matemática ( http://www.arrakis.es/~mcj ). Presentamos aquí otra más moderna basada en el teorema del coseno.
La fórmula clásica para el área del triángulonos dice que A=c*h/2; o lo que es lo mismo,
A=c*a*sen()/2. Por otro lado, el teorema del
coseno nos asegura que b2=a2+c2-2ac*cos().
El camino a seguir será despejar cos() de la...
Dado un triángulo cualquiera de lados , y siendo su semiperímetro se tiene que el área de ese triángulo puede calcularse mediante la siguiente fórmula:
Es decir, lafórmula de Herón relaciona directamente el área de un triángulo con las longitudes de sus lados.
Demostración
Supongamos que las longitudes de los lados del triángulo son y los ángulos opuestos a cadauno de los lados son respectivamente. Por el teorema del coseno tenemos que:
Por la identidad fundamental de la trigonometría () tenemos:
Teniendo en cuenta que la altura de un triángulo debase es y desarrollando a partir de la fórmula del área de un triángulo que conocemos ():
También podéis ver una demostración geométrica de esta fórmula en este artículo en MathForum. Probablementepara el caso que nos ocupa sea más apropiadad que la analítica al no utilizar el teorema de Pitágoras ni la identidad fundamental de la trigonometría.
Herón de Alejandría vivió hacia el sigloIII a. de C. Son conocidas varias obras suyas, pero se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados. No es necesariopor tanto conocer la altura ni ninguno de los ángulos. Si llamamos s al semiperímetro y a, b, c a los tres lados:
Llamando al semiperímetro
entonces el área puede expresarse como
La demostración de Herón es realmente sorprendente. Combinando elementos geométricos sencillos llega a construir una de las demostraciones más ricas y elegantes de toda la matemática. Estademostración puede verse en la Gacetilla Matemática ( http://www.arrakis.es/~mcj ). Presentamos aquí otra más moderna basada en el teorema del coseno.
La fórmula clásica para el área del triángulonos dice que A=c*h/2; o lo que es lo mismo,
A=c*a*sen()/2. Por otro lado, el teorema del
coseno nos asegura que b2=a2+c2-2ac*cos().
El camino a seguir será despejar cos() de la...
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