Profesor

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Introducción a la teoría del Compressive Sensing

En primer lugar se realizará una comparación entre el teorema de muestreo de Nyquist y la teoría del Compressive Sensing. A continuación, se definen las propiedades que deben cumplir las señales así como la matriz de mediciones Φ que se emplean en los algoritmos que implementan esta nueva técnica. A continuación, se resolverá el problema dereconstrucción de la señal original mediante la solución del problema de optimización min || s ||1 sujeto a y = Φs . Y por último, se abarcará el problema de diseño de la matriz de mediciones Φ, dentro de esta sección introducimos una noción clave que ha resultado ser muy útil en el estudio de la robustez del Compressive Sensing, conocida como Propiedad de Isometría Restringida (RIP). El teoremade Shanon/Nyquist especifica que para impedir la pérdida de información al capturar una señal, la tasa de muestreo debe ser al menos el doble de su ancho de banda. En muchas aplicaciones, incluidas imagen digital y video cámara, la frecuencia de Nyquist es muy elevada teniendo que tomar por ello demasiadas muestras de la señal lo que conlleva a la necesidad de comprimir la información antes dealmacenarla o transmitirla. En otras aplicaciones como sistemas de imagen (escáneres médicos, radares…) y convertidores analógico-digitales, aumentar el número de muestras conlleva un aumento del costo. Debido a las grandes limitaciones que presenta la teoría clásica de muestreo para reconstruir señales de alta frecuencia surge la necesidad de estudiar nuevas herramientas. El Compressive Sensing esuna nueva teoría que establece que una señal poco densa en algún dominio puede ser reconstruida con alta probabilidad a partir de un conjunto reducido de proyecciones aleatorias usando un proceso de optimización. [1]

2.1 Teorema de muestreo de Shannon
Establece que una señal xa(t) con ancho de banda limitado, puede ser reconstruida exactamente a partir de una serie de muestras provenientes deun proceso de muestreo, sólo si la frecuencia de muestreo es mayor que la frecuencia de Nyquist, o sea mayor que el doble de su ancho de banda
wny = 2 ⋅ wmax

Si se cumple esta condición, la señal analógica original se puede reconstruir a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación: (1)

g ( t ) = w max ⋅ T ⋅ sin ( w max ⋅ t ) / π ⋅ w max ⋅ t

Se puede expresarxa(t) como: (2)
xa ( t ) =

n =−∞

∑ x ( nT ) ⋅ g ( t − nT )
a

∞

Donde xa(nT) son las muestras de xa(t), en los instantes t=nT con n=1,2,3… y T el periodo de muestreo.

Fig4. Reconstrucción de una señal utilizando el teorema de muestreo de Shannon. (a) Señal original. (b) Señal muestreada. (c) Señal reconstruida. (d) Error de la reconstrucción.

A medida que el ancho de banda de laseñal aumenta, también lo hace la frecuencia de muestreo, de forma que para ciertos tipos de señales la tarea de muestreo se hace casi imposible debido a las limitaciones de velocidad en los convertidores analógicodigitales. Aunque esta señal se pudiese muestrear, la cantidad de muestras tomadas para su reconstrucción sería tan elevada que se introducirían problemas de almacenamiento, tiempo deprocesamiento, ancho de banda para la transmisión, etc. Surge la necesidad de introducir nuevas teorías que sean capaces de resolver las deficiencias de la teoría clásica de muestreo. En este proyecto se hablará sobre una nueva herramienta para el procesamiento de señales llamada Compressive Sensing.

2.2

Compressive Sensing

La técnica del Compressive Sensing (CS) reduce considerablemente elnúmero de muestras necesarias para la reconstrucción de una señal, reduciendo la frecuencia a la cual se debe muestrear la señal. La teoría del Compressive Sensing establece que una señal poco densa o sparse puede ser reconstruida con alta probabilidad a partir de un conjunto de muestras provenientes de su proyección aleatoria, siempre y cuando la señal cumpla con la condición de escasez o poca...