Profesora En Matematica

FCF. UNSE. Cálculo Diferencial e Integral. Matemática II

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Año 2012

Cálculo Diferencial e Integral. Matemática II.

Limite finito

Lic. Elsa Ibarra de Gómez

FCF. UNSE. Cálculo Diferencial e Integral. Matemática II

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LIMITE FUNCIONAL Cuando estudiamos funciones escalares tratamos de estudiar y representar cuantitativamente el cambio que una magnitud determinada porejemplo, la altura de un árbol, experimenta cuando otra varía; por ejemplo, el diámetro del árbol. El objetivo del Cálculo Diferencial e integral es el estudio de estas funciones; de su comportamiento; de sus propiedades. El concepto de límite funcional aporta al estudio del comportamiento de estas funciones, razón por la cual será objeto de nuestro estudio. El descubrimiento del concepto de límitefue uno de los mayores descubrimientos en la historia de las matemáticas y se constituyó en un concepto clave del Análisis matemático, al extremo que aparece en casi todas las definiciones importantes del mismo. La noción de límite de una función en un punto informa sobre el comportamiento de dicha función en proximidades de dicho punto. Veamos en qué condiciones los valores de una funciónescalar se aproximan a un valor determinado cuando los valores del dominio se aproximan a un punto determinado a, que puede pertenecer o no a dicho dominio. El concepto de límite permite estudiar el comportamiento de f (x) cuando x se va aproximando a un número c. Situación Problema Un cuerpo en caída libre y sin resistencia del aire recorre a s (t) = 4, 9 t 2 m en t segundos.    Fácilmente se ve quecuando t = 2, entonces s (2) = 19, 6. Pero ahora nos interesa el comportamiento de s cuando se está cerca de 2. ¿Estará entonces el valor de s cerca de 19, 6? Este parece ser el caso y las tablas siguientes con valores de x e y confirman esas conjeturas. Tabla 1. . t 1, 5 1, 8 1,9 1, 99 1, 999 1, 9999 1, 99999 1, 999999 s (t) = 4, 9 t2 11, 025 15, 876 17, 689 19, 40449 19, 580404 19, 59804 19,599804 19, 59998

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Tabla 2. t 2.5 2.2 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 s (t) = 4, 9 t2 30.625 23.716 21.609 19.79649 19.619604 19.60196 19.600196

En la tabla 1 la variable t se aproxima a 2 tomado valores que son menores que 2. En este caso se dice que t se acerca a dos por la izquierda y se escribe simbólicamente de lasiguiente manera: t 2-. En la tabla 2 la variable t se aproxima a 2 tomando valores mayores que 2. En este caso se dice que t se aproxima a 2 por la derecha. Simbólicamente se expresa: t 2+. Si queremos indicar que t puede acercarse a 2 sin que importe la dirección en que lo hace se usara el símbolo t 2; omitiendo los índices mas o menos. Esto último es lo más frecuente. ¿Ahora bien, cual será elcomportamiento de s cuando t 2? Si identificamos a s (t) de la siguiente manera y = s (t), claramente se puede apreciar en las tablas que si t se acerca a dos y se aproxima a 19, 6; simbólicamente y = s (t)  19, 6. ¿Cuan cerca de 19, 6 puede llegar s (t)? Tan cerca como se quiera. Pero para hacer que f (x) tienda a 19, 6, debemos insistir en que t tiende a 2. Dicho de otro modo, las dosvariables t e y están relacionadas a través de la ecuación s (t) = 4, 9 t 2. Resumiendo podemos decir que, s (t) = 4, 9 t 2 se aproxima a 19, 6 cuando t se acerca a dos; lo que simbólicamente se escribe lim 4, 9 t 2  19,6 y se lee: “el
t2

limite de 4, 9 cuando t tiende a dos es 19, 6”. Lo anterior se aplica a cualquier función f(x) en la que la variable x puede tender a una constante apropiada a; ycomo x tiende a a; la función f (x) puede tender a un límite adecuado L. Cuando esto ocurre podemos expresarlo simbólicamente de la siguiente, manera:

t2

lim f ( x)  L,
x a

que se lee: “el limite de f (x) cuando x tiende a a, es L”. También se puede presentar esta situación escribiendo f (x)  L cuando x  a. Ejemplo 2: Sea la función f definida por: f ( x)  2 x  3 , si x  1

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