profesora

Combinaciones con repetición
OK, ahora vamos con este...

Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variacioneshay?
Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son
{c, c, c} (3 de chocolate)
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)
{b, v, v} (uno de banana, dos devainilla)
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy aenseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.

Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedoressiguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
 
Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.
Ahora puedes escribirlo como (laflecha es saltar, el círculo es tomar)
Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:
{c, c, c} (3 de chocolate):

{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):

{b, v, v}(uno de banana, dos de vainilla):

OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechasy círculos"
Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).
Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, yqueremos que r de ellas tengan círculos.
Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero connúmeros un poco distintos. Lo podrías escribir así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden no importa)
Es interesante pensar que podríamos...