PROGRAMA DE SIMULACIÓN DE TRANSITORIOS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS

1

´
PROGRAMA DE SIMULACION DE TRANSITORIOS EN
´
CIRCUITOS ELECTRICOS

Asignatura: Circuitos el´ ctricos
e
Profesor: Juan Diego Pulgar´n
ı
6 de Mayo de 2011

Abstract— En este informe se abordar´ el estudio de la evoluci´ n de
a
o
una magnitud el´ ctrica a lo largo del tiempo.
e
Para ello, desarrollaremos una ecuaci´ n diferencial para obtener la
o
respuesta de corriente denuestro circuito RLC.

Donde lo desarrollaremos por medio de una ecuaci´ n cuadr´ tica:
o
a
√
√
b2 − 4ac
b
−b ± b2 − 4ac
→−
±
2a
2a
2a

Index Terms— R´ gimen transitorio, cr´ticamente amortiguado, soe
ı
breamortiguado, subamortiguado.

Desarrollando:
I.

´
I NTRODUCCI ON

−

En el curso de circuitos el´ ctricos, se ha estudiado el
e
comportamiento de las magnitudes el´ctricas sin tener en cuenta el
e
momento de conexi´ n de la fuente, es decir, realizamos el an´ lisis
o
a
suponiendo que ha pasado el tiempo necesario como para que no
se den cambios en el tiempo de los valores de las magnitudes del
circuito.
Esto se llevar´ a cabo por medio del programa dise˜ ado en matlab,
a
n
el cual realiza la gr´ fica de la respuesta transitoria de la corriente ena
el circuito RLC.

II.

2

R
L

2(1)

1
( R ) − 4(1)( CL )
L

±

2(1)

2

−

(R) −
L

R
±
2L

4
CL

2

CR2
L

−4
CL

R
−
±
2L

4
1

M ODELADO DEL CIRCUITO
CR2
L

Al ser un circuito serie, planteamos las siguientes ecuaciones
mediante las leyes de kirchhoff:
iR + L

Derivando:

di(t)
1
+
dt
C

−4
→
4CL

CR2
L
4CL
1

−

41
4CL
1

i(t)dt = V

R

di
i
d2 i
+L 2 +
=0
dt
dt
C

L

CR2
4
R2
1
−
→
−
4CL2
4CL
4L2
CL

d2 i
di
i
+R +
=0
dt2
dt
C

(

R 2
1
) −
L
CL

Organizando:

Dividiendo entre L:
R di
d2 i
i
+
+
=0
dt2
L dt
CL

−

R
±
2L

(

R 2
1
) −
2L
CL

De donde veremos varias posibilidades. Para facilitar el an´ lisis,
a
haremos:
R
R 21
β=
α=−
( ) −
2L
2L
CL

Reorganizando, tenemos:
i +

R
1
i +
i=0
L
CL

Tenemos dos posibilidades de respuesta.
Opci´ n 1:
o
α+β

2

Opci´ n 2:
o
α−β

Para la ra´z, hay 3 casos:
ı
CASO 1:Que la ra´z sea mayor a cero, por lo tanto, ambas
ı
partes de la expresi´ n son ra´ces reales diferentes; entonces su
o
ı
soluci´ n es:
o
i(t) = λ1 eo1 t + λ2 eo2 t

Fig.1. Caso 1

Aplicando condiciones iniciales: En t=0 para i=0; tenemos:
o1 ,0

0 = λ1 e

o2 ,0

+ λ2 e

→ 0 = λ1 + λ2

• En este caso, podemos apreciar que la corriente desciende
lentamente pero en forma exponencial, esto debido a que
los exponentes (en el caso 1) son de pendiente negativa
(t´pico comportamiento en el caso sobreamortiguado).
ı

λ1 = −λ2
CASO 2:Que la ra´z seamenor a cero, lo que implica que ambas
ı
partes del radical son ra´ces complejas conjugadas. Su soluci´ n
ı
o
es la siguiente:
i(t) = λ1 eαt cos βt + λ2 eαt senβt

En t=0 la tensi´ n de la fuente cae en la inductancia, pues es
o
quien acepta los cambios de tensi´ n:
o

Simplificando:
V =L

d(λ1 eo1 t + λ2 eo2 t )
di
|t=0 → L
|t=0
dt
dt

i(t) = eαt (λ1 . cos βt + λ2 .senβt)Aplicando condiciones iniciales para determinar las constantes:
0 = eα,0 (λ1 . cos β,0 + λ2 .senβ,0)

V = L(λ1 .eo1 t .o1 + λ1 .eo2 t .o2 ) |t=0

0 = 1.{λ1 . cos(0) + λ2 sen(0)}
0 = 1.{λ1 (1) + λ2 (0)}
λ1 = 0

V = L(λ1 .o1 + λ2 .o2 )
Reemplazando las ecuaciones para despejar las constantes:

En t=0 la tensi´ n de la fuente cae en la inductancia, pues es
o
quien acepta los cambios detensi´ n:
o
V =L

V = L(λ1 .o1 − λ1 .o2 )
V =L
V = L(λ1 (o1 − o2 ))

di
|
dt t=0

d{eα.t (λ1 . cos βt + λ2 .senβt)}
|t=0
dt

Derivando:
λ1 αeαt cos βt−λ1 βeαt senβt+λ2 αeαt senβt+λ2 βeαt cos βt =

V
V
λ1 =
→ λ2 = −
L(o1 − o2 )
L(o1 − o2 )

Reemplazando las ecuaciones para hallar el valor de la segunda
constante:
λ2 αsenβ(0) + λ2 β cos β(0) =

Al tener el valor de las...