Propiedades de las operaciones

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa aparece en el contexto del álgebra y se aplica a dos tipos de operaciones: la suma y la multiplicación. Esta propiedad indica que, cuando aparecen tres o más cifras en estas operaciones, el resultado no depende de la manera en la que se agrupan los términos.
Esto quiere decir que, más allá de cómo se junten los diferentes números de la operación,la suma o la multiplicación ofrecerán el mismo resultado. El agrupamiento, por lo tanto, no tiene que ver con el resultado que se obtiene.
En el caso de la suma, la propiedad asociativa indica que la forma en que se juntan los sumandos no incide en el resultado de la operación. Veamos el funcionamiento de esta propiedad a través de una expresión algebraica y de un ejemplo:
(A + B) + C = A + (B +C)
Al reemplazar las letras por valores numéricos, podemos demostrar la igualdad que indica la propiedad asociativa. Si A = 8, B = 5 y C = 4:
(8 + 5) + 4 = 8 + (5 + 4)
13 + 4 = 8 + 9
17 = 17
Lo mismo ocurre con las multiplicaciones ya que, en este caso, el resultado no depende del agrupamiento de los factores. Si seguimos trabajando con los valores del ejemplo anterior:
(A x B) x C = A x (Bx C)
(8 x 5) x 4 = 8 x (5 x 4)
40 x 4 = 8 x 20
160 = 160
 
Propiedad distributiva

El concepto de propiedad distributiva se emplea en el campo del álgebra. Se trata de una de las propiedades de la multiplicación que se aplica respecto a una suma o a una resta. Dicha propiedad indica que dos o más términos presentes en una suma o en un resta multiplicada por otra cantidad, resulta igual a lasuma o la resta de la multiplicación de cada uno de los términos de la suma o la resta por el número.
En otras palabras: una cifra multiplicada por la suma de dos sumandos resulta idéntica a la suma de los productos de cada uno de los sumandos por dicho número.
Para entender la propiedad distributiva, de todos modos, es más simple observar los factores en una expresión algebraica:
A x (B + C)= A x B + A x C
Reemplacemos las letras por números para comprobar la igualdad y, por lo tanto, el funcionamiento de la propiedad distributiva. Si A = 4, B = 2 y C = 8:
4 x (2 + 8) = 4 x 2 + 4 x 8
4 x 10 = 8 + 32
40 = 40
La propiedad distributiva también puede aplicarse respecto a una resta. Veamos cómo funciona con los mismos valores que utilizamos en el ejemplo anterior:
4 x (2 – 8) = 4 x2 – 4 x 8
4 x –6 = 8 – 32
–24 = –24
Se considera que la propiedad distributiva tiene un proceso inverso: el llamado factor común. Cuando distintos sumandos disponen de un factor común, es posible transformar la suma en una multiplicación a partir de la extracción del factor en cuestión.

Propiedades de las potencias

A continuación vamos a exponer las principales propiedades de laspotencias de modo simple y sencillo para que se puedan aprender con lógica y que resulte fácil recordarlas.
1 – Propiedad del producto
¿Cómo multiplicar 7 2 × 7 6?
Los exponentes indican que debemos multiplicar cada base tantas veces como indica dicho exponente, posteriormente realizaremos la multiplicación que nos interesa. La situación bien pudiera resumirse en esto:
(7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 ×7)

Si eliminamos los paréntesis, tenemos el producto de ocho 7s, que se puede escribir más sencillamente como:
7 8
Esto nos da la pista de que para multiplicar potencias con la misma base, lo mejor es sumar los exponentes
7 2 × 7 6 7 = (2 + 6) = 7 8

2 – Propiedades de potencias con exponente “0”

Muchos estudiantes principiantes piensan que una potencia de exponente 0 debe dar comoresultado también 0. Pero no es cierto, el caso es que toda potencia con exponente 0 tiene como resultado el número “1”
Podemos demostrarlo a partir de la propiedad del producto que hemos visto antes. Supongamos que multiplicamos:
7 0 × 7 1 = 7 (0 + 1) = 7 1
Si 70 hubiera sido igual a 0, sabiendo que cualquier cosa que la multipliquemos por 0 da lugar a 0, aquí la multiplicación anterior nos...