Propiedades De Los Numeros Reales

Tricotomía
En la Aritmética, la tricotomía denota las características de una relación ordenada entre dos números. La Ley de la tricotomía es una proclamación formal de una propiedad que para muchos de los estudiantes es bastante obvia, al hacer comparaciones entre dos números. De acuerdo con la propiedad de la Tricotomía, una de las relaciones tiene: x> y, x = y o x <y. Es decir, un númeroreal puede ser positivo, negativo o cero. En términos matemáticos, se puede denotar como:

Esta propiedad de la Tricotomía, en la lógica estándar, se utiliza para la evaluación de los números reales que abarcan sus subconjuntos de los Números Reales. Con respecto a los Números Reales, puede ser reformulada como: Por cada dos Números Reales x e y, de cada tres relaciones, para una de lasrelaciones es cierto que: a> b, a = b o a <b.

En palabras más simples, para cualquier relación correspondiente S en el conjunto Q, la relación se dice que es tricotómica si , una de las relaciones mantiene:

x Q y, x = y y Q x
Axioma Del Supremo
-------------------------------------------------
Principio del formulario
 
Final del formulario
Axioma del Supremo
El significado de límitesuperior es conocido por todos, el cual es el máximo de los valores.
Pero el concepto de supremo es un poco diferente del límite superior.
También es conocido como extremo superior.
En términos de teoría de conjuntos un supremo puede ser definido como un valor x de un conjunto de valores, tal que ningún otro valor del conjunto es mayor que x.
También existe otro valor y positivo que puede sermuy pequeño para el cual x - y es mayor que x.
Considere un conjunto A subconjunto de los números reales R. Entonces,
1. El Máximo de A será un valor que debe ser mayor que todos los valores en el conjunto A.

2. El Mínimo de A será un valor que debe ser menor que todos los valores en el conjunto A.

En términos de funciones un supremo puede ser definido como un valor de x en el dominio dela función dada tal que f(y)  x para todos los valores en el dominio de la función dada.
También existirá otro valor positivo a, que puede ser muy pequeño para el cual (x - a) es menor que f(x).
La teoría axiomática de conjuntos establece que para un determinado conjunto de números reales que es no vacío, siempre existe un supremo / extremo superior que puede no ser algún número real, dado queel conjunto de números reales está acotado superiormente.
Esta teoría también se aplica a los números complejos.
El supremo de un conjunto A también es llamado sup A.
Otra formulación de la teoría axiomática de conjuntos es que la convergencia de una serie de números reales es otro número real.
Un dato muy interesante acerca del supremo es que no existe supremo para un conjunto de númerosracionales en particular.
Vamos a echar un vistazo a la prueba del teorema dado,
Suponga que la serie Xn es convergente a X. Ahora sea un conjunto Y = {Xn: Xn <= X}.
Este conjunto abarcaría todos los valores de la serie Xn que son más pequeños que los valores de X.
Con respecto a la declaraciones anteriores, se puede decir que X es el supremo de Y.
Por el contrario, si tenemos un conjunto denúmeros reales que está acotado superiormente, sea Xn una serie que consiste en los elementos de Y.
Es esencial que todos los elementos de Y se coloquen en orden creciente.
Ahora bien, por la definición de extremo superior / supremo, para algún número pequeño que es positivo hay un elemento en el conjunto dado (el Xnavo elemento del conjunto Xn) tal que Xn sea mayor que X – a, donde a es un valordado.
Dado que la serie dada está organizada en orden creciente, tenemos que todos los valores de Xn mayores que X – a, provistos son n > N.
Entonces,

Existe otra serie de teoremas correspondientes con el Teorema del Extremo Superior tal como el expresado debajo,
Todas las series de números reales que no son de origen decreciente, tienden a algún límite, es decir, siempre están acotadas...