PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LOGICOS

























PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LOGICOS
1) Idempotencia

p˄p ≡ p
p˅p ≡p


2) Asociatividad

(p˄q)˄r ≡ p˄(q˄r)
(p˅q)˅r ≡ p˅(q˅r)

3) Conmutatividad

p˄q ≡ q˄p
p˅q ≡ q˅p4) Distributividad

p˄(q˅r) ≡ (p˄q)˅(p˄r)
p˅(q˄r) ≡ (p˅q)˄(p˅r)

5) Identidad

p˄(F) ≡ (F)
p˅(F) ≡ p
p˄(V) ≡ p
p˅(V) ≡ (V)

6) Complemento

p˄(~p) ≡ (F)
p˅(~p) ≡ (V)
~(~p) ≡ p
~(V) ≡ (F)~(F) ≡ (V)

7) Condicionantes

(p → q) ≡ (~p ˅ q)
(p → q) ≡ (~q → ~p)
(p ↔ q) ≡ (p → q) ˄ (q → p)
(p ↔ q) ≡ (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)

8) De Morgan

~(p ˅ q) ≡ (~p ˄ ~q)
~(p ˄ q) ≡ (~p ˅ ~q)
~(p → q) ≡ (p ˄~q)
~(p ↔ q) ≡ (~p ↔ ~q)


Con la ayuda de estas propiedades podemos simplificar proposiciones compuestas o hallar su valor de verdad

Ejemplo

(p ˄ q) → [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]
~(p ˄ q)˅ [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)] condicionante
(~p ˅ ~q) ˅ [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)] De Morgan
[(~p ˅ ~q)˅(~p ˅ q)] ˄ [(~p ˅ ~q) ˅ (~q˅ p)] distributividad
[(~p ˅ ~p)˅(q ˅ ~q)] ˄ [(~p ˅ p) ˅ (~q ˅ ~q)] conmutatividad, asociatividad
[~p ˅ (v)] ˄ [(v) ˅~q]idempotencia, complemento
(v) ˄ (v) identidad
(v)identidad

Como la proposición se simplifica al valor de verdad (V), ésta es una tautología.
Es decir la proposición compuesta es equivalente a una proposición más simple que resulta de lasimplificación de la primera.




LEYES DE LOS OPERADORES LOGICOS
Conjunción y Disyunción. ¬0 ≡ 1
¬1 ≡ 0 Negación
¬(¬p) ≡ p Doble Negación o Involutiva
p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)Distributivas
¬(p∧q) ≡ (¬p∨¬q) ¬(p∨q) ≡ (¬p∧¬q) De Morgan
(p∨¬p) ≡ 1 Tercero Excluido
(p∧¬p) ≡ 0 Contradicción
(p→q) ≡ (¬q→¬p) Contrapositiva o Contrarrecíproca
(p→q) ≡ (¬p∨q) (¬p→q) ≡ (p∨q)...