PROYECCIONES ORTOGONALES CONCERTADAS

ESPACIO VECTORIAL
1.- A PARTIR DE LA DEFINICIÓN, MENCIONAR UN CONJUNTO COMO EJEMPLO DE:
A.-) Espacio Vectorial:
- El espacio ℜn, formado por los vectores de n componentes (x1,. . ., xn) es unespacio Vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la
Forma habitual.
- Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientesreales:
P2 = {ax2+ bx + c: a, b, c ∈ ℜ}
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2; también podemos multiplicar un elemento de P2 por unescalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:
Suma: (ax2+ bx + c) + (a’x2+ b’x + c’) = (a+a’) x2 • + (b+b’) x + (c+c’) que pertenece a P2.
Producto por un escalar real: λ ∈ ℜ, λ (ax + bx +c) = λax2 + λbx + λc que pertenece a P2.
B.-) Sub-espacio Vectorial Lineal:
- El plano XY es un sub-espacio de ℜ3. Está formado por los vectores de la forma (x, y, 0). Contiene al vector (0, 0, 0).Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:
• Suma: (x, y, 0) + (x’, y’,0) = (x + x’, y + y’, 0) que también es un elemento del plano.
• Producto por un escalar: λ ∈ ℜ, λ(x, y, 0) =(λx, λy, 0) que también es un elemento del plano.
Podemos decir que este plano “es como ℜ2” pero incluido en ℜ3.
- En M2 = {matrices 2x2}, el conjunto de las matrices simétricas es unsub-espacio.
Contiene a la matriz nula, y es cerrado para las operaciones:
• Suma: que también es una matriz simétrica.
• Producto por escalar: λ ∈ ℜ, = que también es una matriz simétrica.
C.-)Combinación Lineal:
- Veamos si es sub-espacio de ℜ2 el conjunto U= {(λ, λ): λ∈ ℜ}.
Tomamos dos elementos genéricos de U, (λ, λ) y (µ, µ). Una combinación lineal de ellos es:
α (λ, λ) + β (µ,µ) = (αλ+βµ, αλ+βµ) que también es un elemento de U. Por tanto U es sub-espacio.
- Dados los vectores, hallar el vector combinación lineal 





D.- Dependencia lineal e independencia lineal...