Proyecto en grupo matematicas politecnico


a) Una función en un punto existe si tiene imagen en ese punto, es decir, si para un valor de existe su correspondiente en . En el caso de la función de la gráfica la función en existe y tieneun valor de , esto se debe a que el punto “lleno” toma el valor de mientras el punto “vacío” toma un valor de 3. En consecuencia la imagen de la función en es.

b) El límite de una funciónexiste en un punto si y sólo si el límite por la izquierda existe y el límite por la derecha existe y ambos tienen el mismo valor.



















c) Una función en continua en unpunto si para dibujarla no es necesario levantar el lápiz. Esa es la definición coloquial. En la función presenta una discontinuidad ya que “salta” de .

EXPLICACIÓN:
La definición estricta decontinuidad debe cumplir que el límite en el punto exista, es decir que sea igual por derecha y por izquierda y que la imagen de la función tenga el mismo valor del límite. Por ejemplo en el punto ellímite existe porque:



Además la función evaluada en tiene el mismo valor del límite:



Por tanto se concluye que la función en continua en .
d) La función presenta discontinuidades en yporque presenta saltos en estos valores. Los límites de la función en y no existen, con lo cual ya se puede demostrar que la función no es continua en esos puntos.

e)




f)g)



La ecuación de la recta tangente se encuentra con la pendiente de la recta. Ésta se hallá con la derivada de la función.



Si se evalúa la derivada en el punto se encuentra lapendiente de la recta en ese punto:




De la gráfica se observa que tiene sentido este valor para la pendiente de la recta tangente en .

De la gráfica se comprueba que:







Ahora senecesita un punto cualquiera por donde pase la recta para encontrar el punto de corte:



La recta pasa por el punto
Ya tenemos la pendiente
Encontramos entonces el punto de corte con el eje...