Proyecto Mate Inter 1 Usac P1

Problema 1:
a)
Para los primeros dos problemas, vamos a generalizar los resultados que obtengamos en el problema uno para después utilizar los para resolver el problema dos con más facilidad. Primero obtendremos el lado del primer triangulo que está inscrito dentro del círculo más grande en términos del radio del circulo, para esto usaremos la siguiente figura:

1 2 3 3 l0 r r0 l0

Dondepodemos observar muy claramente un triá ngulo rectángulo en donde podemos usar pitágoras:
2

r0 2 =

3 2

l0

r0 +

2 1 l 2 0

de lo cual después de despejar l 0 obtenemos: l0 3 r0

Lo siguiente que haremos es que a partir del lado del triangulo que obtuvimos vamos a encontrar el radio del circulo inscrito en tal triangulo, usaremos la siguiente figura:
l0

r1 3 l0 2 l0
r1

Delo cual podemos obtener una relación de triá ngulos semejantes:
1

r1
3 2

=

l 2 0 l0

l0 r 1

Que despejando a r1 nos da:
r1
3 6

l0

Como teníamos que l 0 en términos de r0 lo sustituimos entonces el valor de r es el siguiente: r1
1 2

r0

Al seguir haciendo esto varias veces nos damos cuenta que: ln rn
3 r0 2n 1 r 2n 0

Esto quiere decir que la n-ésima área sombreadaestá dada por el área del n-ésimo círculo menos el área del n-ésimo triangulo, por tanto: An Π rn 2
1 2

ln

3 2

ln

Sustituyendo rn y l n obtenemos: An Π
1 2n

r0

2

1 2

3 2n

r0

3 2

3 2n

r0

Simplificamos:

2

proyecto p1 Brandon Molina.nb

Esto quiere decir que la n-ésima área sombreada está dada por el área del n-ésimo círculo menos el área del n-ésimotriangulo, por tanto: An Π rn 2
1 2 3 2

ln

ln

Sustituyendo rn y l n obtenemos: An Π
1 2n

r0

2

1 2

3 2n

r0

3 2

3 2n

r0

Simplificamos: An An An Π
1 4n

r0

2

3 4n 3 4 3 4

3
1

r0

2

r0 2 Π r0 2 Π

1 n 4 3

3 1 n 4

1 n 4

Por último, para obtener el Área Total Sombreada solo debemos sumar las infinitas áreas, es decir: AT
n 0 r0 2

Π3 4

3

1 n 4 1 4

Lo cual es una Serie Geométrica, donde r = mula:
n 0

y a = r0 2 Π

3 4

3

, Entonces se puede encontrar su suma exacta con la fór-

a rn

a 1 r

Por lo tanto, utilizando la formula anterior, la serie converge a: AT r0 2
4 3

Π

3

( Ecuación de área total) 1

Como el Radio Inicial r0

AT
b)

4 3

Π-

3

Primero encontraremos elperímetro del n-ésimo círculo que es: Pcn 2 Π rn pero ya habíamos encontrado el valor de rn entonces sustituí mos: 1 Pcn 2 Π 2n r0 Pcn 2 Π r0
1 n 2

Ahora sumamos los infinitos perímetros de los círculos: 1 n PcT n 0 2 Π r0 2 Ya que es una serie geométrica entonces hacemos lo mismo que en el inciso a) Y encontramos que converge a:

PcT

4 Π r0
1

Como r0

PcT
c)

4Π

De primeroencontraremos el perímetro del n-ésimo triangulo: Ptn 3 l n Ahora vamos a sustituir el valor de l n que habíamos encontrado anteriormente: Ptn Ptn 3 3
3 2n

r0 3 r0
1 n 2

Ahora sumamos los infinitos perímetros de los triangulos: 1 n PtT 3 r0 2 n 03 Que es una serie geométrica, por tanto esta converge a:

PtT

6

3 r0
1:

Ya que r0

PtT

6

3 r0

Problema 2

proyecto p1 BrandonMolina.nb

3

Problema 2
a)
Lo que haremos en este inciso es encontrar el radio de cada uno de los círculos inscritos en el triá ngulo más grande y utilizar las fórmulas generales que encontramos en el problema 1. Primero encontraremos el radio del círculo más grande, al cual llamaremos ra , para eso nos apoyaremos en la siguiente figura:

l

3 2 ra ra

l

De aquí podemos encontraruna relación de triá ngulos semejantes:
1

ra
3 2

2

l

l l ra

Despejamos ra y como L=1 ra
3 6

Ahora vamos a encontrar el radio de los círculos tangentes al círculo de radio ra y tangentes al triangulo, para esto usaremos la siguiente figura:
l1

3 2 2

3 6

3 2

rb

1

En la figura observamos una clara relación de triangulos semejantes, llamaremos al lado del...