proyectos finales

Premios del Departamento de Matemáticas
de la Universidad Autónoma de Madrid
para Estudiantes de Secundaria
Primera Edición, 2006/2007

TRABAJO: Factorización real
FINALISTA EN LA CATEGORÍA DE E.S.O.
AUTORES:
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Verónica Antoraz Onrubia
Alejandro Barahona Álvarez
Alba del Coso Estebaranz
Johana Jacqueline Galanza Monta
Sonia Márquez Marina
Azucena Yagüe RevillaTUTORES:
o Jesús Pablo Moreno González
CENTRO: IES Sierra de Ayllón (Ayllón, Segovia)

FACTORIZACIÓN REAL

Evaristo

Índice:

1. JUSTIFICACIÓN
2. OBJETIVO
3. UN POCO DE HISTORIA
4. FACTORIZACIÓN ALGEBRÁICA REAL
• Polinomios de segundo grado
• Polinomios de grado tres
• Polinomios de grado cuatro

5. RESULTADOS Y CUESTIONES
6. CONCLUSIONES
7. BIBLIOGRAFÍA

1. JUSTIFICACIÓNLa idea del concurso surgió cuando el profesor puso el siguiente polinomio para
descomponerlo en clase: p( x) = (6 x 4 − x 3 + 4 x 2 − 2)·( x − 2) .
Al intentar reducirlo por Ruffini no encontramos solución alguna y hasta el profesor
se planteó si tenía solución real; después de esto el profesor se enteró del concurso y cuando
nos lo propuso nos pareció buena idea y decidimos apuntarnos.2. OBJETIVO
Son tres nuestras metas en este trabajo:
1. Crear algoritmos algebraicos para factorizar en el cuerpo de los números reales,
polinomios de grado no superior a cuatro y con coeficientes reales, normalmente
racionales. Para polinomios de grado superior, sabida es la imposibilidad de
tales algoritmos (Niels Henrik Abel, 1826) y lo que pretendemos es encontrar
métodos sencillos parafactorizar algunos con condiciones especiales, como son
los que descomponen en factores de grado uno con coeficientes enteros,
habituales en nuestros libros de textos y que resolvemos por el débil método de
Ruffini.
2. Los polinomios de grado cinco y en general impar, con coeficientes reales,
tienen un factor de grado uno cuyo término independiente o solución real
pretendemos encontrar, loque nos permitiría reducir en uno el grado y pasar al
caso par.
3. En general, si bien no pretendemos el inútil propósito de factorizar cualquier
polinomio real, nos parece muy interesante poder calcular el número de factores
reales que tiene, saber cuántos aunque no cuáles.
Teniendo en cuenta que los factores de grado uno son los cortes de la gráfica de
la función polinómica con el eje deabcisas y que tales factores son rectas por dichos
puntos de corte, representaremos algunos ejemplos de funciones polinómicas junto con
sus factores, a fin de deducir alguna conclusión de la observación de sus gráficas.

3. UN POCO DE HISTORIA
La factorización ha sido un tema del cual han tratado numerosos matemáticos
importantes, haciendo un recorrido por la historia de las matemáticas,específicamente
con la solución de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales.
La factorización es una de las herramientas más empleadas en el trabajo matemático
para “transformar” una expresión algebraica de manera conveniente, para resolver algún
problema.
Tiene una importancia apreciable a través de la historia, es la solución de
ecuaciones algebraicas; de hecho, en un primermomento, la factorización surge ante la
necesidad de solucionar ecuaciones de segundo grado.
Los babilonios, fueron los primeros que resolvieron, ecuaciones cuadráticas.

En unas tablillas descifradas por Neugebaveren 1930, cuya antigüedad es
de unos 4000 años, se encontraron soluciones a varias de estas ecuaciones, empleando
el método conocido actualmente como “completar el cuadrado”.
Haceunos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la
solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy
precisa para resolver ecuaciones del tipo

El trabajo de los babilonios constituyó un logro notable, teniendo en cuenta que
no contaban con la notación moderna y por su alto nivel de abstracción, al considerar
las ecuaciones cuárticas como...