Prueba de la raíz (Criterio de Cauchy).

Prueba de la raíz (Criterio de Cauchy).
El  criterio de Cauchy o criterio de la raíz es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad:

donde  son los términos de laserie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series depotencias.

El criterio de la raíz fue desarrollado por Cauchy y por lo que también a veces es conocido como criterio de Cauchy de la raíz o simplemente criterio de Cauchy . Para una serie

el criteriode la raíz utiliza el número:

donde "lim sup" denota el límite superior, que puede llegar a ser ∞. Tenga en cuenta que si

converge, entonces es igual a C y puede ser utilizado en el criterio dela raíz.

El criterio de la raíz establece que:
Si C < 1, entonces la serie converge absolutamente
Si C > 1, entonces la serie diverge,
Si C = 1 y  de cierto  en adelante, entonces la seriediverge.
En otros caso el criterio no lleva a ninguna conclusión.
Hay algunas series en que C= 1 y la serie converge, por ejemplo,, y hay otros para los que C= 1 y la serie diverge, por ejemplo, .Aplicación en series.
Este criterio se puede utilizar con una serie de potencias

donde los coeficientes cn, y el centro p son números complejos, y el argumento z es una variable compleja.
Lostérminos de esta serie vendrían dados por an = cn(z − p)n. Entonces se aplica el criterio de la raíz a an como se vio más arriba. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se llama una serie depotencias "alrededor de p", ya que el radio de convergencia es el radio R del mayor intervalo o disco centrado en p de manera que el serie converge para todos los puntos z estrictamente en el interior delintervalo o disco. Como corolario del criterio de la raíz se obtiene que el radio de convergencia es exactamente, teniendo cuidado de que es ∞ si el denominador es 0.

Prueba.
La prueba de la...