prueba de probabilidades ingenieria

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile
o
Facultad de Matem´ticas
a
Departamento de Estad´
ıstica
Temporada Acad´mica de Verano 2014
e
Curso
Sigla
Pauta
Profesores
Ayudantes

:
:
:
:
:

Probabilidad y Estad´
ıstica
EYP1113
I1
Ricardo Aravena, Ricardo Olea y Claudia Wehrhahn
Daniela Castro, Erwin Ag¨ ero y Carlos Cayuman.
u

Problema 1 [10 %]
Sean A, B y C, treseventos posibles. Muestre que si
P (A | C) ≥ P (B | C)

y

P (A | C) ≥ P (B | C),

entonces P (A) ≥ P (B).
Soluci´n
o
Tenemos que
P (A) = P (A ∩ S) [1 %]
= P (A ∩ [C ∪ C]) [1 %]
= P ([A ∩ C] ∪ [A ∩ C]),

por ley distributiva [1 %]

= P (A ∩ C) + P (A ∩ C),

por ser eventos disjunto

[1 %]

An´logamente,
a
P (B) = P (B ∩ C) + P (B ∩ C) [1 %]
Por otra parte, tenemos del enunciadoque
P (A | C) ≥ P (B | C) [1 %]
⇒ P (A | C) · P (C) ≥ P (B | C) · P (C),

por P (·) ≥ 0

[1 %]

⇒ P (A ∩ C) ≥ P (B ∩ C) [1 %]

(1)

An´logamente
a
P (A | C) ≥ P (B | C) ⇒ P (A ∩ C) ≥ P (B ∩ C) [1 %]

(2)

Sumando (1) y (2) se tiene que
P (A ∩ C) + P (A ∩ C) ≥ P (B ∩ C) + P (B ∩ C) ⇒ P (A) ≥ P (B) [1 %]

EYP1113 - Probabilidad y Estad´
ıstica
Temporada Acad´mica de Verano2014
e

1

Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Ricardo Olea Ortega
Claudia Wehrhahn Cortes

Problema 2 [10 %]
Sean E1 y E2 dos eventos posibles que al condicionar su ocurrencia a un evento posible A, estos se comportan
de manera independiente, muestre entonces que
P (E1 ∩ E2 | A) = P (E1 | A) · P (E2 | A)
Soluci´n
o
Dos eventos E1 y E2 , se dicen independientes si:
P (E1 ) = P (E1 |E2 )

o

P (E2 ) = P (E2 | E1 )

(3)

Notemos que
P (E1 ) = P (E1 | S),

P (E2 ) = P (E2 | S),

S ∩ E1 = E1 ,

S ∩ E2 = E2

Luego (3) es equivalente a
P (E1 | S) = P (E1 | E2 ∩ S)

o

P (E2 | S) = P (E2 | E1 ∩ S)

(4)

Es decir, E1 y E2 , ser´ eventos independientes condicionales a la ocurrecia del evento S.
ıan
Del enunciado nos dicen que E1 y E2 son independientescondicionados a la ocurrencia del evento A, entonces
P (E1 | A) = P (E1 | A ∩ E2 ) [5 %]
P (E1 ∩ A ∩ E2 )
, por definici´n de probabilidad condicional [2 %]
o
P (A ∩ E2 )
P (E1 ∩ A ∩ E2 ) P (A)
=
·
[1 %]
P (A ∩ E2 )
P (A)
P (E1 ∩ E2 | A)
=
[1 %]
P (E2 | A)

=

Por lo tanto, se tiene que
P (E1 ∩ E2 | A) = P (E1 | A) · P (E2 | A) [1 %]

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ısticaTemporada Acad´mica de Verano 2014
e

2

Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Ricardo Olea Ortega
Claudia Wehrhahn Cortes

Problema 3 [15 %]
Suponga que en cierto rio (Jau-Jau) se construir´ un puente basculante. En general, este tipo de puentes
a
est´ constituido por 6 componentes tal como muestra la figura a continuaci´n:
a
o

Como puede apreciar, para su correcto funcionamiento, lasbasculas (B1 y B2 ) tienen una unica posici´n.
´
o
En cambio, t´cnicamente son intercambiable LI1 con LI2 , y de igual forma LD1 con LD2 . Si las basculas y
e
componentes del puente son instaladas al azar, ¿cu´l ser´ la probabilidad que el puente funcione correctaa
ıa
mente?
Soluci´n
o
Definamos como A al evento en que el puente queda operativo despu´s de ensamblar al azar.
e
Tenemos
#S= 2! · 4! = 48

[6 %]

maneras de ensamblar las componentes de manera aleatoria y
#A = 1 · 2! · 2! = 4 [6 %]
en que el puente queda operativo dadas las indicaciones del enunciado.
Luego, si se ensambla al azar el puente sobre el r´ Jau-Jau queda operativo con probabilidad:
ıo
P (A) =

EYP1113 - Probabilidad y Estad´
ıstica
Temporada Acad´mica de Verano 2014
e

1
#A
=
#S
123

[3 %]

Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Ricardo Olea Ortega
Claudia Wehrhahn Cortes

Problema 4 [25 %]
Las estad´
ısticas en los ultimos a˜os muestran que los alumnos inscritos en el EYP1113 y que han ingresado
´
n
a la carrera por las tres v´ posibles se distribuye de la siguiente manera: PSU (80 %), inclusi´n (10 %) y
ıas
o
traspaso por college o admisi´n especial (10 %)....