Prueba2 1s 2012 1

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´
SEGUNDA PRUEBA DE METODOS
NUMERICOS
Primer Semestre Curso 2012
Nombre

M´odulo
Re-evaluaci´
on

1)(1.5 puntos) Considere la funci´on no lineal:
f (x) = 2 cos

x
− x2 ..
4

a) Demuestre que f (x)tiene una u
´nica ra´ız real en el intervalo [1, 2].
b) Compruebe que el siguiente m´etodo iterativo:
xk+1 = + 2 cos

xk
, k = 0, 1, 2, ..., con x0 = 1,
4

para encontrar la ra´ız de f en [1, 2], esun algoritmo de punto fijo xk+1 = g(xk )
convergente. Justifique la convergencia.
c) Si x∗ ∈ [1, 2] denota la ra´ız buscada, use la siguiente estimaci´on del error:
|xk − x∗ | ≤

Lk
|x1 − x0 | , dondeL = max |g (x)| ,
1−L
x∈[1,2]

para estimar cu´
antas iteraciones k ser´ıan necesarias para obtener un error menor
que 10−3 .
2)(1.5 puntos) En el sistema de ecuaciones lineales Ax = b, donde:



1
1
2
−2
1
 7 
 4
5
−7
6 



A=
 5 25 −15 −3  , b =  −8  .
28
6 −12 −6 22
a) Halle una descomposici´on P A = LU , con una matriz de permutaci´on P
conveniente. Escriba las matrices P, L, Uy compruebe su respuesta.
b) Resuelva el sistema de ecuaciones usando la descomposici´on P A = LU
obtenida en a).
c) Compruebe que la inversa de A es la matriz:


61/6 1/6 −7/6 −2/3
 −34/3 8/3 1/3−1/6 
,
A−1 = 
 −13
4
0
−1/2 
−25/2 5/2 1/2
0
y calcule el n´
umero de condici´on k(A) de A con respecto a la norma infinita
A ∞.
1

3)(2.5 puntos) Suponga que se tiene la siguiente tabla devalores de una
funci´
on continua f desconocida, en los puntos que se indican:
xi
f (xi )

1
−2.176

2
−1.496

3
5.764

4
27.408

Se desea hallar un valor aproximado de la ra´ız de f en el intervalo [2,3].
a) Calcule el polinomio PL de interpolaci´on de f en los puntos {1, 2, 3}
usando los polinomios Ln,k de Lagrange.
b) Calcule el polinomio PN de interpolaci´on de f en los puntos {2, 3, 4}
usando lasdiferencias divididas f [x0 , x1 , ..., xn ] de Newton.
c) Con dos iteraciones del m´etodo de Newton:
xn+1 = xn −

P (xn )
,
P (xn )

calcule dos aproximaciones de la ra´ız de f en [2, 3],...