Modelo Exponencial 1s 2012
Páginas: 2 (450 palabras)
Publicado: 23 de abril de 2015
RELACIONES DE TIPO EXPONENCIAL
y
y
y
k
x
x
(a)
x
(b)
(c)
Fig.1
Si la distribución de los puntos permiten dibujar algunas de las curvas mostradas en la
fig.1 , decimos que la relación esdel tipo exponencial. Si se tiene la forma de la curva 1a
o 1b, la relación entre x e y puede ser del tipo
y = k·e a·x
para encontrar a y
logaritmo se obtiene
k aplicamos logaritmo natural, de acuerdocon la regla de los
ln y = ln k + a·x
resultado que tiene la forma de una recta
y’ = ln y ,
b = ln k , y
y’ = b + m.· x donde:
m = a
de donde podemos obtener la cte. k y el valor de a.Ejemplo:
En un cierto experimento se mide la cantidad V (x ), obteniéndose la tabla
mostrada a continuación , a partir de ella obtenga el modelo matemático V = f (x)
Tabla 1
X
1
V
12.1
2
7.37
3
4.45
42.71
5
1.65
6
1.0
7
0.6
8
0.37
9
0.22
10
0.13
Solución:
Primero graficamos
V(x)
Gráfico V(x) v/s x
14
12
Suponemos que es del tipo
10
V = k·ea·x
8
6
aplicando logaritmo natural
4
2
ln V= ln k + a·x
0
0
2
4
6
8
10
x
por tanto para linealizar debemos graficar ln v/s x para lo cual primero obtenemos una
nueva tabla para ln v ya que x lo tenemos en la tabla original.
Tabla
x
1LnV (x) 2.49
2
2.00
3
1.49
4
1.00
5
0.50
6
0.00
7
-0.50
Usando
obtenemos:
8
-0.99
mínimos
9
-1.51
10
-2.04
cuadrados
ln k = 3 => k =20.1
a = -0,50
ln(V)
Gráfico Ln(V) v/s x
3
r = -0.99997
2
1
Que r tenga cuatro 9 antes del 7,
asegura que la curva es una recta y
por tanto el modelo propuesto es
bueno y el modelo buscado resulta
ser
0
-1
-2
-3
0
2
4
6
8
10
12
x
V = 20·e-x/2
si la curva de los datos originales resulta como la de la fig. 1c, entonces el modelo debe
ser del tipo
y = k·( 1 - e- a·x )
donde el valor límite k puede conocerse del gráfico, de ser estocierto la ecuación
puede anotarse
-a·x
y
1 - e
k
aplicando logaritmo natural queda
ln 1 y a·x
k
y
y’ = ln 1
y
x’ = x
k
corresponde a una recta que pasa por el origen...
y
y
y
k
x
x
(a)
x
(b)
(c)
Fig.1
Si la distribución de los puntos permiten dibujar algunas de las curvas mostradas en la
fig.1 , decimos que la relación esdel tipo exponencial. Si se tiene la forma de la curva 1a
o 1b, la relación entre x e y puede ser del tipo
y = k·e a·x
para encontrar a y
logaritmo se obtiene
k aplicamos logaritmo natural, de acuerdocon la regla de los
ln y = ln k + a·x
resultado que tiene la forma de una recta
y’ = ln y ,
b = ln k , y
y’ = b + m.· x donde:
m = a
de donde podemos obtener la cte. k y el valor de a.Ejemplo:
En un cierto experimento se mide la cantidad V (x ), obteniéndose la tabla
mostrada a continuación , a partir de ella obtenga el modelo matemático V = f (x)
Tabla 1
X
1
V
12.1
2
7.37
3
4.45
42.71
5
1.65
6
1.0
7
0.6
8
0.37
9
0.22
10
0.13
Solución:
Primero graficamos
V(x)
Gráfico V(x) v/s x
14
12
Suponemos que es del tipo
10
V = k·ea·x
8
6
aplicando logaritmo natural
4
2
ln V= ln k + a·x
0
0
2
4
6
8
10
x
por tanto para linealizar debemos graficar ln v/s x para lo cual primero obtenemos una
nueva tabla para ln v ya que x lo tenemos en la tabla original.
Tabla
x
1LnV (x) 2.49
2
2.00
3
1.49
4
1.00
5
0.50
6
0.00
7
-0.50
Usando
obtenemos:
8
-0.99
mínimos
9
-1.51
10
-2.04
cuadrados
ln k = 3 => k =20.1
a = -0,50
ln(V)
Gráfico Ln(V) v/s x
3
r = -0.99997
2
1
Que r tenga cuatro 9 antes del 7,
asegura que la curva es una recta y
por tanto el modelo propuesto es
bueno y el modelo buscado resulta
ser
0
-1
-2
-3
0
2
4
6
8
10
12
x
V = 20·e-x/2
si la curva de los datos originales resulta como la de la fig. 1c, entonces el modelo debe
ser del tipo
y = k·( 1 - e- a·x )
donde el valor límite k puede conocerse del gráfico, de ser estocierto la ecuación
puede anotarse
-a·x
y
1 - e
k
aplicando logaritmo natural queda
ln 1 y a·x
k
y
y’ = ln 1
y
x’ = x
k
corresponde a una recta que pasa por el origen...
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