Pruebas De Hipotesis

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

Se habla de bondad de ajuste cuando se trata de comparar una distribución de frecuencia observada con los valores correspondientes de una distribución esperada o teórica.

Una prueba de bondad entre frecuencias observadas y esperadas se basa en la cantidad


donde es el valor de una variable aleatoria cuya distribución muestral se aproxima a una distribuciónji-cuadrada con v=k-1 grados de libertad. Los símbolos y representan las frecuencias observadas y esperadas respectivamente.

Para ilustrar el uso de pruebas de bondad de ajuste a continuación se presentan dos ejemplos, el primero de ellos ilustra el tipo de prueba de ajuste a una distribución uniforme y el segundo el ajuste a una distribución normal.

Ejemplo 4.13 El gerente de una plantaindustrial pretende determinar si el número de empleados que asisten al consultorio médico de la planta se encuentra distribuido en forma uniforme durante los 5 días de trabajo de la semana. Con base en una muestra aleatoria de 4 semanas completas de trabajo, se observo el siguiente número de consultas

Días
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes

49
35
32
39
45

¿existe alguna razón para creer que elnúmero de empleados que asisten al consultorio médico no se encuentran distribuidos en forma uniforme durante los días de trabajo de la semana? Pruebe la hipótesis, con un nivel de significancia de 0.05.

Solución
1. Hipótesis nula: H0: La distribución del número de empleados que asisten al consultorio es uniforme
2. Hipótesis alterna H1: La distribución del número de empleados que asisten alconsultorio no es uniforme
3. Estadístico de prueba:

Para calcular el valor de se presentan los datos como se indica en la tabla siguiente:


Día

Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
oi
49
35
32
39
45
ei
40
40
40
40
40
Por tanto



4. Región de rechazo:
Se rechaza si con v=k-1 g.l. Para =0.05 se tiene que para v=5-1=4 g.l.

Como , la hipótesis nula no se rechaza y se concluye que ladistribución del número de empleados que asisten al consultorio es uniforme.

Ejemplo 4.14 Se tomaron 100 mediciones de niños de 5 años. Estas mediciones se presentan a continuación:

Tabla 5. Talla de niños de 5 años de edad.
Serie de clases de tallas (cm)
Frecuencia
De 90 a 93
8
De 94 a 97
18
De 98 a 101
42
De 102 a 105
24
De 106 a 109
8
Total
100

Utilice un nivel de significancia de a=0.05 paradecidir si la distribución de las tallas de niños de 5 años de edad se aproximan a una distribución normal.

Solución
1. Hipótesis nula: H0: La distribución es normal
2. Hipótesis alterna H1: La distribución no es normal
3. Estadístico de prueba:


El procedimiento para calcular el valor de es el siguiente: se realiza la agrupación de los datos, de ahí se obtiene la siguiente tabla en dondese realizan los cálculos necesarios para estimar y ; en donde es el estimador de y el estimador de .
Intervalos




90 – 93
94 – 97
98 – 101
102 – 105
106 – 109
8
18
42
24
8
91.5
95.5
99.5
103.5
107.5
732
1719
4149
2484
860
66978.0
164164.5
415810.5
257094.0
92450.0
Total
100

9974
996497





por lo tanto s= 4.11
En el cálculo de se emplea n en el divisor, y no n-1. El estimador que usa eldivisor n es llamado estimador de máxima verosimilitud, y tiene mejores características para la aproximación a la ji-cuadrada, por lo que debe usarse en este caso. Otra recomendación es que la estimación de parámetros se realice siempre con datos agrupados, y nunca con las observaciones individuales. Aunque los 5 intervalos, que se presentaron anteriormente solo cubren de 90 a 109, la distribuciónnormal puede tomar cualquier valor en (-∞,∞), por lo que es necesario definir los intervalos adicionales (-∞,90) y (109, ∞).

Posteriormente se tienen las probabilidades para los 7 intervalos utilizando las probabilidades de la distribución normal estándar de la Tabla A5 del anexo, estas son las siguientes:









Con las Pi se calcularan las frecuencias esperadas y de ahí se formara...