Práctica, conceptos generales de cálculo avanzado

Ejercicios para el curso MA-1003: C´lculo III
a
Tomados de ex´menes de la C´tedra
a
a

1.

1

Superficies en el espacio R3

1.1. Hallar la ecuaci´n del cilindro cuya directriz es la curva de la intersecci´n de las supero
o
ficies x2 + y 2 = 1 , z = x y cuyas generatrices son paralelas al vector (9, 1, −15).
1.2. Obtener la ecuaci´n del cilindro cuya directriz est´ dada por la curvao
a
x2 + y 2 + 2z 2 = 8,
x − y + 2z = 0.
y cuyas generatrices son paralelas a la recta (x, y, z) = (−3, 1, 5) + t(2, 1, −4), t ∈ R.
1.3. Calcular la ecuaci´n del cilindro el´
o
ıptico que tiene por directriz la elipse
x2 y 2
+
= 1, z = 0
9
4
y por generatrices rectas paralelas a la recta de intersecci´n de los planos 9x+y+4z = 14
o
y x + y + z = 3.
1.4. Encontrar la ecuaci´n delcilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta
o
2x + y + z − 6 = 0,

x + y = 0,

y cuya directriz es la interesecci´n de la esfera de radio 1 centrada en el punto (1, 0, 1)
o
con el plano x − y = 2.
1.5. Hallar la ecuaci´n del cilindro cuya directriz es la elipse de ecuaciones param´tricas
o
e
x = cos θ,

y = sen θ,

z = cos θ + sen θ

y cuyas generatrices sonperpendiculares al plano que contiene dicha elipse.
1.6. Calcular la ecuaci´n de la superficie c´nica que tiene por v´rtice el punto (0, 2, 3) y cuya
o
o
e
2
2
directriz es la elipse x + y = 16, x + y + z = 0.
1.7. Calcular la ecuaci´n del cono que tiene por v´rtice el punto (−4, 2, 3) y cuya directriz
o
e
es la curva de intersecci´n de las superficies
o
x2 y 2
+
= 1 , 3x + 2y − z = 0.
9
16
1Recopilado por el Prof. Marco Alfaro C. y reeditado por Joseph V´rilly en el I Ciclo del 2006
a

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a
1.8. Calcular la ecuaci´n de la superficie c´nica que tiene por v´rtice el punto (0, 2, 3) y cuya
o
o
e
directriz es la curva de intersecci´n delhiperboloide de una hoja x2 + y 2 − 4z 2 = 16 con
o
el plano x − y + z = 0.
1.9. Encontrar la ecuaci´n del cono cuyo v´rtice se encuentra en el centro del elipsoide
o
e
x2 y 2 z 2
+
+
=1
9
3
4
y cuya directriz es la elipse
x2 y 2 z 2
+
+
= 1,
9
3
4

x + y + z = 1.

1.10. Hallar la ecuaci´n del cono cuyo v´rtice es el centro de la superficie 2x2 + y 2 + z 2 = 12 y
o
e
quetiene por directriz la curva de intersecci´n de esta superficie con el plano x+y+z = 3.
o
1.11. Encontrar la ecuaci´n del cono cuyo v´rtice es el centro de la superficie cuadr´tica
o
e
a
2
2
2
2
2
2
x − y + 4x + 6y + z = 10 y cuya directriz es el c´
ırculo x + y + z = 9, x + y + z = 0.
1.12. Calcular la ecuaci´n de la superficice c´nica que tiene por v´rtice el punto (0, 0, 0) y
o
oe
cuya directriz es la curva alabeada
r(t) = 3 cos ti + 4 sen tj + tan tk

−

π
π
0,

en el punto P = (x0 .y0 , z0 ) de la superficie, es: A(x0 )x + B(y0 )y + C(z0 )z = D.
4.4. La altura h de un monte se describe aproximadamente mediante la funci´n
o
√
√
√
h(x, y) = 2 2 − 0,0002 2y 2 − 0,0004 2x2 ,
donde h es la altura en kil´metros sobre el nivel del mar mientras x e y miden laso
coordenadas este-oeste y norte-sur respectivamente. Para el punto (x, y) = (−2, −4),
encontrar
(a) ¿Con qu´ rapidez se incrementa la altura en la direcci´n noreste?
e
o

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a
(b) ¿En qu´ direcci´n va la trayectoria m´s empinada hacia arriba?
eo
a
√
√ 2
√
(c) Si T (x, y, z) = 2 2 − 0,0002 2y − 0,0004 2x2√ z representa la temperatura en
−
la monta˜a, calcular en el punto (−2, −4, 1,9952 2) el cambio m´ximo de tempern
a
atura. ¿En qu´ direcci´n ocurre?
e
o
4.5. Hallar la derivada direccional de la funci´n z = x3 −2x2 y +xy 2 +1 en el punto M (1, 2, 2)
o
y en la direcci´n del vector 3 i + 4 j. Calcular tambi´n el vector...