Psicologia

SIMETRÍA Y ARTE EN COMUNIDADES INDÍGENAS COLOMBIANAS
Esta conferencia está basada en parte del trabajo doctoral de la profesora Maria Falk de Losada y las incursiones en el tema por parte de la expositora, profesora Claudia Marcela Polanía Sagra.

Hermann Weyl en su libro Simetría muestra cómo la fascinación por la simetría permea el arte y el diseño occidental y quizá de todos los pueblos yculturas. Aquí exploraremos el análisis estructuralista de la simetría y sus manifestaciones en el diseño y el arte, particularmente en el arte indígena colombiano. Para ello nos limitaremos a trabajar en el plano. 1. Grupos de simetría de figuras finitas Una simetría de un “objeto” es una transformación que deja el objeto invariante, lo cual no significa que cada punto sea igual a su propiaimagen, sino que, la imagen, bajo la transformación indicada, del conjunto de puntos que conforman la figura es el mismo conjunto de puntos. De manera particular analicemos las simetrías rotacionales y las simetrías reflexiónales de una figura, las cuales forman un grupo que, por el teorema de Cayley, es isomorfo a un grupo de permutaciones, donde los elementos son permutaciones y la operación es lacomposición de funciones. (En una figura dada con frecuencia es posible encontrar puntos claves que permiten representar las reflexiones y las rotaciones por permutaciones de esos puntos). Cualquier figura geométrica plana tiene un grupo de simetrías relacionado con ella, con mínimo un elemento, la transformación idéntica To .

Figura 1

To

1

Veamos ahora una figura que presenta algunaregularidad lo cual nos permite pensar que el grupo de simetrías correspondiente tendrá más de un elemento,
Y

Figura 2

Si tomamos al eje Y del plano cartesiano como eje de simetría de la figura, podemos relacionar esta simetría reflexional con la transformación T1 : (x,y) → (-x,y), claramente esta figura no posee más simetrías, de donde, su grupo de simetrías es G ={ To , T1 }. Un ejemplo desimetría rotacional Rπ de 180° está dada por Figura 3 Rπ: (x,y) → (-x,-y)

Consideremos ahora el grupo de simetrías del siguiente triángulo isósceles: Figura 4
1 123 123 123 132

O

123 123 123 132 2 3

123 123 123 132

123 132 123 123

2

El grupo de simetrías de este triángulo consta de dos transformaciones: una reflexión y la transformación idéntica. Si estudiamos el triánguloequilátero, encontramos seis simetrías, tres rotacionales sobre el centro del triángulo (intersección de las alturas, bisectrices y medianas) y, una reflexiónales (una por cada una de las alturas).

1

2 A= 123 123 B= 123 132 C= 123 321 D= 123 213 E= 123 231

3 F= 123 312

• A B C D E F

A B C D E F A B C D E F B A E F C D C F A E D B D E F A B C F D B C F A E C D B A E

Observamos quecada reflexión es su propio inverso y que en las rotaciones, una es la inversa de la otra. 1.1 Grupos de simetrías de polígonos regulares Caracterización en términos del número de elementos: - Cuando el número de lados del polígono es impar: En un polígono P de n lados con n impar, cada eje de simetría de P es una recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Ya que cadareflexión es su propio inverso, cada una de estas simetrías genera un subgrupo de orden dos. Una rotación por un ángulo de 360º/n alrededor del centro (punto de intersección de las diagonales) del polígono corresponde a una simetría rotacional ρ, la cual genera todas las otras simetrías rotacionales de P a través de la composición de si misma una, dos, hasta n veces, con lo cual genera un subgrupo cíclicode orden n del grupo de simetrías del polígono.

3

-

Cualquier simetría del polígono es generada por combinaciones de una reflexión y una rotación. Cuando el número de lados del polígono es par: En un polígono Q de n lados con n par, cada eje de simetría de Q es una recta que o bien pasa por un par de vértices opuestos, o bien por los puntos medios de un par de lados opuestos....