Psicologia

http://es.scribd.com/doc/52203691/1-1-Medicion-aproximada-de-figuras-amorfas
 
Medición aproximada de figuras amorfas
Rectángulo Genérico
Definiremos, para nuestra presentación, un rectángulo genérico. El mismo se formaráteniendo como base el eje de coordenadas, (bien sea eje
X 
o el eje
Y 
), dependiendo de lacurva que estemos estudiando.En ocasiones el rectángulo genérico puede servertical, si tiene como base el eje
X 
. (Ver Figura 1). Pero es posible que el rectángulo sea horizontal, para este caso la base está sobreel eje
Y.
(Ver Figura 2).
Figura1 Figura 2
Ahora bien, la longitud de los rectángulos vendrá determinada por la curva. Es decir; dondetoque el rectángulo a la curva, esa será la longitud.El ancho del rectángulo vendrá dado por la exactitud del cálculo quedeseamos hacer.Para estudios siguientes, haremos que el ancho del rectángulo se haga tan pequeño como ellímite cuando tiende a cero.

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826-1866). Gran matemático alemán. Realizó numerosas contribuciones a varias ramas de las matemáticas, siendo las más conocidas en Geometría no Euclídea, ecuaciones diferenciales y teoría de números. Sus hallazgos fueronfundamentales para el desarrollo posterior de la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein.
Cuando hemos hablado del Cálculo como rama de las matemáticas, hemos mencionado varios de los problemas que dieron lugar a su origen y desarrollo. Uno de ellos es el problema del área de una región plana. A lo largo de estas páginas pretendo introducir el concepto de integral definida como instrumentofundamental para el cálculo de dicha área. Comenzaremos con el concepto de sumatorio y la notación sigma Σ (debe su nombre a la letra griega con la que se representa) para expresar estos sumatorios.
Por ejemplo si queremos expresar la suma de los primeros diez números naturales podemos hacerlo así en notación sigma:

La letra i recibe el nombre de índice de suma, los números 1 y 10 son los límitesinferior y superior de la suma y tienen que cumplir que:
límite inferior <= límite superior
Podemos definir la suma de n términos a1,a2,a3,....,an utilizando la notación sigma de la forma siguiente:

Para el índice de suma se suele utilizar las letras i , j o k
Un ejemplo de notación sigma

Fíjate que la Classpad calcula los sumatorios
(pero no hace los desarrollos tal y como yo te los hemostrado en las capturas)

Si en la captura de arriba te pidiesen una predicción del resultado de la suma
cuando n tendiese a infinito, ¿qué dirías?.

De nuevo nos volvemos a encontrar con uno de los motores del Cálculo:
el paso al límite
fíjate:

De la captura de arriba puedes deducir claramente que la suma anterior cuando n tiende al infinito
también tiende a infinito.
Propiedadesimportantes para trabajar con la notación sigma
En la captura de abajo k es una constante

Ejercicios sobre notación sigma con la Classpad
1.- Halla la suma siguiente:

En la Classpad puedes utilizar la pestaña 2D para introducir de forma natural el sumatorio en notación sigma.
Si no te aparece la opción rodeada cuando pulses la pestaña 2D, pulsa sobre la flecha que te he marcado.

Si quieresobtener el resultado de la suma en forma exacta pulsa EXE, si lo quieres en forma aproximada con decimales pulsa sobre la opción rodeada en la captura de abajo.

2.- Halla el límite de la suma siguiente cuando su número de términos tiende a infinito

Calculamos el límite (usando la pestaña 2D de nuevo) de la expresión anterior haciendo que n tienda a infinito

La solución es 5/3

la sumade Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un...