Puntos de Equilibrio

Modelado y Simulación de Sistemas Complejos
Máster en Ingeniería Matemática UC3M Curso 2012
Lino Gustavo Garza Gaona
Problemas Sesión 2

1. [Analítico]. En un cuidadoso estudio experimental de la dinámica de poblaciones del "metazoan Daphnia
magna", F. E. Smith [Population dynamics of Daphnia magna and a new model for population growth,
Ecology 44, 651-663 (1963)] encontró que susobservaciones no coincidían con las predicciones del
model logístico. Usando la masa M de la población como medida de su tamaño, el propuso el modelo
M = rM

k−M
,
k + aM

(1)

donde r, k y a son constantes positivas. Encuentre los puntos de equilibro y determine sus estabilidades.

Solución.
Llamemos f (M) a M . Para encontrar los puntos de equilibro vemos cuándo es que la función se hacecero, y esto es en M = 0 y M = k. Para determinar si son estables o no, vemos el signo de la derivada en
esos puntos. La derivada es
(k2 − 2kM − aM 2 )
.
f (M) = r
(k + aM)2
Evaluamos en M = 0 y M = k
=

r,

f (k) =

−

f (0)

r
.
a+1

A partir del signo de la derivada podemos determinar si un punto es estable o no, así, vemos que para 0
es positivo, mientras que para k elsigno es negativo, por lo que concluimos que k es estable, mientras 0
es un punto de equilibrio inestable.

2. [Analítico y Modelado]. Para desarrollar una estrategia para explotar un recurso renovable, digamos el
pescado, consideremos la ecuación
N
− H(N),
(2)
k
que es el modelo de población logístico usual con un incremento en la tasa de mortalidad como resultado
de la explotación. H(N)representa la explotación permitida por unidad de tiempo.
N = rN 1 −

a) Asumiendo H(N) = CN, donde C es la tasa de captura intrínseca, encuentre la población de equilibrio N ∗ , y determine la máxima explotación permitida.
b) Si, como estrategia alternativa, consideramos la explotación permitida constante H(N) = H0 , deterrk
mine el punto de equilibrio estable y muestre que cuándo H0 seaproxima a
por abajo, existe el
4
riesgo de que la especie explotada se extinga.

1

Solución.
a) Si asumimos H(N) = CN, tenemos la ecuación
N = rN 1 −

N
− CN,
k

al igualarla a cero podemos obtener los puntos de equilibrio
N r−
y obtenemos N0∗ = 0 y N1∗ =

rN
− C = 0,
k

k(r − C)
.
r

Ahora, para ver si son estables estudiemos el signo de su derivada; la derivada es
f (N)= r − C −

2rN
.
k

La evaluamos en los puntos de equilibrio y obtenemos
f (0)
k(r − C)
r

f

Luego N0∗ = 0 será estable si C > r y N1∗ =

=

r − C,

= C − r.

k(r − C)
es estable cuando r > C.
r

Para determinar la máxima explotación permitida, debemos ver H(N1∗ ), esto es H(N1∗ ) = CN1∗ y buscamos
el C que maximiza esta expresión
k(r − C)
,
r
C2k
= Ck −
,
r
2Ckf (C) = k −
,
r
f (C) = C

r
igualando a cero obtenemos C = . Entonces podemos sustituir este valor en H(N1∗ ) y obtenemos la
2
máxima explotación permitida, que es
H(N1∗ ) =

Ck(r − C) kr
= .
r
4

b) Si H(N) = H0 constante, entonces tenemos la siguiente ecuación
N

=
=

N
− H0 ,
k
rN 2
rN −
− H0 .
k
rN 1 −

2

Igualamos a cero para obtener el punto deequilibrio
N
− H0
k
k
N 2 − kN + H0
r

rN 1 −

=

=
=

0,

=

0.

k2 −

k±
⇒N

=

4kH0
r

2


k 1 ±


4H0 

1−
rk
2



k 
4H0 
1 ± 1 −

2
rk 

Para determinar cuál de los dos puntos es el estable observemos el signo de la derivada, la derivada es
f (N) = r −

2rN
.
k

Al sustituir N con el radical positivo, tenemos

  k 
f  1 +
2


4H0 
1−
 =
rk 

r−


k 
2r 1 +
2


4H0 
1−

rk 
k

,


4H0 
1−
,
rk 

4H0 
1−
.
rk 



= r − r 1 +
=



−r 

Así, tenemos que éste es el punto de equilibrio estable, ya que al tomar el radical negativo obtenemos una
rk
derivada con signo positivo. Ahora, si H0 se...