Pwm en micro controladores

Cálculo II
TEMA 6
Integración por Fracciones parciales

Integración por Fracciones Parciales.
Algunas integraciones de expresiones racionales se facilitan si encontramos las fracciones parciales que vendría a ser una especie de “racionales primitivas” por decirlo de algún modo, cuya ejecución con un denominador común dio como resultado dicha expresión.
Vamos a ejemplificarla con elsiguiente ejemplo:
Tomemos las exp. racionales: 1 _ +1 + _ 1 ‗ :(X+1) + X(X+1) + X2 ‗ 2X2 + 2X + 1
X2 X X+1 X2(X+1) X2(X+1)
Es fácil ver que ⌠ _2X2+2x+1 dx es mas difícil que ⌠ _1 +1 + _1 dx
X2(X+1) X2 X X+1⌡

De tal manera que toda la dificultadestribaría en cómo hallar el camino inverso para hallar las ‘fracciones parciales’ Este tema pertenece al contenido de Matemáticas I. Recordémos:
Dada la fracción a Integrar: P(x)Q(x)dx Si el grado del numerador P(x) es (mayor o igual) que el grado del denominador Q(x) (Ojo: No Aplica al ejemplo citado) se dividen algebraicamente, quedando: P(x)Q(x)dx = Ex+R(x)Q(x)dx y la parte entera E(x) , seintegra aparte. Luego, a la fracción residual que queda: R(x)Q(x) se le aplica el método que sigue: |
En primer lugar, en caso de que no lo esté, se factoriza el denominador Q(x)= Q1(x).Q2(x)…Qn(x)Estos factores pueden ser: Lineales como por ej: x, (x+1), No lineales irreductibles, como: (3x2+2) ó (x4+1) etc. Y pueden estar o nó elevados a unapotencia, como x2 ó (x-2)3, ó (3x2+2)2 etc. |
Se asume que cada factor tiene un numerador que desconocemos, por tanto le asignamos letras (usualmente, las primeras del abecedario para no confundirlas con la variable) A, B. C, etc |
Si un factor está elevado a una potencia n (como aquí la X) se toman tantos denominadores como dicha potencia, que va subiendo de 1 hasta n:Ej: si hay un factor deldenominador (x+1)3 se forman tres fracciones parciales: A/(x+1)3 ; B/((x+1)2; C/(x+1) | 2x2+2x+1x2x+1=Ax+Bx2+Cx+1 |
Luego, se resuelve la fracción con los coeficientes literales planeados. | 2x2+2x+1x2x+1=Axx+1+Bx+1+Cx2x2(x+1) |
Se igualan los numeradores: | 2X2+2x +1 = AX (X+1) + B (X+1) + CX2 |
(porque el denominador se sabe, pero los numeradores deben ser iguales y contienen incógnitas:A, B, C,…) |
Hay dos métodos de resolverlos: |
Método 1: Asignar valores a X Se dan valores convenientes a X (los que hacen = 0 los factores). Se resuelven las ecuaciones como simultáneas. | 2X2+2x +1 = AX (X+1) + B (X+1) + CX2 x= 0 02+ 0 +1 = A 0 (0+1) + B (0+1) + C02 1 = B x= (-1) 2(-1)2+2(-1)+1 = A(-1) ((-1)+1) + B((-1)+1) + C(-1)2 1 = A(0) +B(0) +C 1 = C x = (1) 2(1)2+2 (1) +1 = A(1) ((1) +1) + B ((1) +1) + C (1) 2 5 = 2A + 2B + Cpero B=1, C=1, 5 = 2A+ 2(1) + (1) 1 = A |Método 2: Igualar CoeficientesSe desarollan Se factorizaSe igualan los coeficientesSe resuelven como simultáneas | 2X2+2x +1 = AX (X+1) + B (X+1) + CX2 2X2+2x +1 = AX2+AX + BX+ B + CX2 2X2+2x +1 = (A+ C)X2 +(A + B)X +B Coeficientes de X22 = (A +C) Coeficientes de X 2 = (A +B )Término independiente 1 = B Entonces 1 = A 1 = C |
Quedando: | 2X2+2x+1 ‗ ‗1 +_1_ + _1_ X2(X+1) X X2 X+1 |
Ahora se puede integrar | 1x +1x2+ 1x+1dx= 1x+LnX+lNX+1+C |

Si hay factores que internamente son de grado mayor que 1 tal como x4+1, entonces el...