raices
Páginas: 2 (313 palabras)
Publicado: 9 de octubre de 2014
Se puede escribir más sobre la historia de las soluciones algebraicas de los polinomios, sin embargo solo se presentan las formulas o procedimientos desarrollados por Girolamo Cardán y LodovicoFerrari, para polinomios de tercer y cuarto grado, cúbicas y cuárticas, respectivamente1.
Fórmula de Cardán
Sea la ecuación cúbica , donde el coeficiente de x3 es 1 (de lo contrario, se puededividir toda la ecuación entre el coeficiente de x3). Si a, b, y c son números reales, entonces el polinomio tiene tres raíces reales; o bien, una raíz real y dos complejas conjugadas.
El procedimientopara encontrar las raíces consiste en evaluar,
, , , .
Si t4 ≥ 0, entonces se evalúan (primer grupo);
, , ,
para obtener una raízreal y dos complejas conjugadas,
,
De lo contrario si t4 < 0, se evalúan (segundo grupo),
, , ,
para obtener tres raíces reales,
, .Fórmula de Ferrari
Le toca ahora a los polinomios de cuarto grado. Para resolver polinomios de cuarto grado se utiliza la Fórmula de Ludovico Ferrari:
Sea la ecuación cuártica: donde elcoeficiente de x4 es 1 (de lo contrario, se puede dividir toda la ecuación entre el coeficiente de x4). Si a, b, c y d son números reales, entonces el polinomio cuartico se puede factorizar en dospolinomios cuadráticos, los cuales, resueltos separadamente, dan las cuatro raíces buscadas. Sin embargo, primeramente es necesario reducir al polinomio de cuarto grado a uno de tercer grado (ecuacióncúbica) lo cual se hace utilizando la expresión siguiente. El procedimiento para evaluar las raíces consiste primero en encontrar una raíz real “y” de la ecuación cúbica, obtenida a partir de laecuación cuártica (polinomio de cuarto grado):
,
para lo cual se utilizan las fórmulas de Cardán.
Enseguida se evalúan los siguientes parámetros,
, y
La factorización...
Fórmula de Cardán
Sea la ecuación cúbica , donde el coeficiente de x3 es 1 (de lo contrario, se puededividir toda la ecuación entre el coeficiente de x3). Si a, b, y c son números reales, entonces el polinomio tiene tres raíces reales; o bien, una raíz real y dos complejas conjugadas.
El procedimientopara encontrar las raíces consiste en evaluar,
, , , .
Si t4 ≥ 0, entonces se evalúan (primer grupo);
, , ,
para obtener una raízreal y dos complejas conjugadas,
,
De lo contrario si t4 < 0, se evalúan (segundo grupo),
, , ,
para obtener tres raíces reales,
, .Fórmula de Ferrari
Le toca ahora a los polinomios de cuarto grado. Para resolver polinomios de cuarto grado se utiliza la Fórmula de Ludovico Ferrari:
Sea la ecuación cuártica: donde elcoeficiente de x4 es 1 (de lo contrario, se puede dividir toda la ecuación entre el coeficiente de x4). Si a, b, c y d son números reales, entonces el polinomio cuartico se puede factorizar en dospolinomios cuadráticos, los cuales, resueltos separadamente, dan las cuatro raíces buscadas. Sin embargo, primeramente es necesario reducir al polinomio de cuarto grado a uno de tercer grado (ecuacióncúbica) lo cual se hace utilizando la expresión siguiente. El procedimiento para evaluar las raíces consiste primero en encontrar una raíz real “y” de la ecuación cúbica, obtenida a partir de laecuación cuártica (polinomio de cuarto grado):
,
para lo cual se utilizan las fórmulas de Cardán.
Enseguida se evalúan los siguientes parámetros,
, y
La factorización...
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