range kuta nystrom

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

MÉTODOS NUMÉRICOS TIPO
RUNGE-KUTTA-NYSTRÖM PARA LA INTEGRACIÓN
EFICIENTE DE PROBLEMAS OSCILATORIOS

Amelia García Garrosa
Tesis doctoral

DEPARTAMENTO DE
MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA
2001

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA A LA
INGENIERIA
Tesis doctoral
Autor:
D˜a. Amelia Garc´ Garrosa
n
ıa
Director: Dr. D. PabloMart´ Ord´nez
ın
o˜
Dra. Da. Ana Bel´n Gonz´lez Mart´
e
a
ınez
T´
ıtulo:
M´todos num´ricos tipo Runge-Kutta-Nystr¨m para
e
e
o
la integraci´n eficiente de problemas oscilatorios.
o
Tribunal
Presidente:

Dr. D. Jos´ Manuel Ferr´ndiz Leal
e
a
Universidad de Alicante

Vocales:

Dr. D. Juan Getino Fern´ndez
a
Universidad de Valladolid
Dr. D. Antonio Vigueras CampuzanoUniversidad Polit´cnica de Cartagena
e
Dr. D. Manuel Palacios Latasa
Universidad de Zaragoza

Secretario:

´
Dr. D. Jos´ Miguel Farto Alvarez
e
Universidad de Valladolid

Fecha de lectura: 30 de noviembre de 2001.
Calificaci´n: SOBRESALIENTE CUM LAUDE.
o

Contenido

Agradecimientos

iii

Introducci´n
o

v

1 M´todos de un paso para la integraci´n de ecuaciones
e
o
desegundo orden
1
1.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1
1.2 M´todos Runge-Kutta-Nystr¨m . . . . . . . . . . . . .
e
o
2
1.3 M´todos RKGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
4
2 Nuevos m´todos tipo Runge-Kutta-Nystr¨m.
e
o
11
2.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
o
2.2 Nuevos m´todos especiales para
e
problemasoscilatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Discusi´n de m´todos de orden oscilatorio cinco 20
o
e
2.2.2 Discusi´n de m´todos de orden oscilatorio seis . 24
o
e
2.2.3 Experimentos num´ricos . . . . . . . . . . . . . 25
e
2.3 M´todos RKNh2 . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . 31
e
2.3.1 Formulaci´n general . . . . . . . . . . . . . . . 31
o
2.3.2 Error de truncaci´n local. . . . . . . . . . . . . 33
o
2.3.3 Condiciones de orden para un m´todo
e
2
RKNh p : q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 M´todo RKNh2 4:5 ´ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . 40
e
o
3 M´todos de paso variable
e
49
3.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
o
3.2 Construcci´n de un par encajado
o
2
RKNh 4:6(3:4) . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 54
3.3 Experimentos num´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
e
i

ii

Contenido

4 M´todos RKNh2 de orden alto
e
69
4.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
o
4.2 Teor´ de ´rboles para los m´todos RKNh2 . . . . . . . 70
ıa
a
e
´
4.2.1 Arboles especiales de Nystr¨m . . . . . . . . . . 70
o
4.2.2 Derivadas de la funci´n f . . .. . . . . . . . . 72
o
4.2.3 Derivadas de los valores ki . . . . . . . . . . . . 74
4.2.4 Condiciones de orden. Error de truncaci´n local 77
o
´
4.2.5 Arboles para un oscilador no perturbado. Condiciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.6 Condiciones de orden para m´todos
e
RKNh2 p : q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.7 Condiciones simplificadoras . . .. . . . . . . . 87
4.3 Un m´todo RKNh2 de paso variable y orden 8 . . . . . 96
e
4.3.1 Construcci´n del m´todo de orden 8 . . . . . . 96
o
e
4.3.2 Construcci´n del m´todo de orden 6 . . . . . . 103
o
e
4.3.3 Experimentos num´ricos. . . . . . . . . . . . . . 108
e
Bibliografa

119

Agradecimientos
El presente trabajo ha sido realizado bajo la direcci´n de los profesores
o
PabloMart´ Ord´nez y Ana Bel´n Gonz´lez Mart´
ın
o˜
e
a
ınez, a quienes debo
agradecer la propuesta del tema, su labor de direcci´n y su enorme
o
paciencia y est´
ımulo en todo momento.
´
Tambi´n quiero citar a los profesores Jos´ Miguel Farto Alvarez y
e
e
David Javier L´pez Medina, tanto por sus comentarios y correcciones
o
a lo largo del trabajo, como por la confianza que siempre...