razon de cambio

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Razón de Cambio
Razones de Cambio

El procedimiento para esto es deducir una ecuacion que relacione las cantidades y despues derivar aplicando la regla de la cadena y por ultimo despejar para encontrar la incognita.


Ejemplo #1


Dos autos parten del mismo punto, el primero se dirige al oeste a 25 y el segundo al sur a 60 MPH MPH. Con que velocidadaumenta la distancia entre ellos despues de 2 horas.
entonces tenemos que:
\frac{dx}{dt}=25 mph

\frac{dy}{dt}=60 mph
Donde dx/dt y dy/dt es la velocidad de los autos, el cambio de x o y en el tiempo.
Para encontrar los valores de x y, multiplicamos por las 2 horas que han viajado.
x=50 m

y=120 m
Para encontrar la distancia que hay entre los 2 autos podemos hacerlo con el teroema depitagoras tendrimaos que:
z=\sqrt{(50)^{2}+(120)^{2}}=130 m
z=130 m
entonces debemos encontrar el cambio de z respecto al tiempo.
\frac{dz}{dt}=?
Carro.JPG
Entonces basandonos en:
z^{2}=x^{2}+y^{2}
si derivamos respecto del tiempo temos que
2x(\frac{dx}{dt})+2y(\frac{dy}{dt})=2z(\frac{dz}{dt})
despejando dz/dt.
\frac{x(\frac{dx}{dt})+y(\frac{dy}{dt})}{z}=(\frac{dz}{dt})
Sustituyendo.\frac{50(25)+120(60)}{130}=\frac{dz}{dt}
\frac{dz}{dt}=65 mph
--Jorgetr 20:34 25 jul 2009 (UTC)
Ejemplo #2


se deja caer una piedra en un lago de calma lo que provoca ondas y circulos, el radio r del circulo exterior esta creciendo a un ritmo constante de 1pie/seg, cuando el radio es de 4 pies a que ritmo esta cambiando el area A de la region circular perturbada.

funciones:

r = radio
A =area

Relacion :

A = \pi r^2

condicion inicial:

\frac{dr}{dt}=1 pie/seg

Que nos estan pidiendo : \frac{dA}{dt} en r = 4 pies/seg

derivamos: A = \pi r^2


\frac{dA}{dt}= \pi 2r \frac{dr}{dt}


\frac{dA}{dt}= \pi 2 (4)(1) aca sustituimos los valores que ya tenemos el radio y dr/dt


\frac{dA}{dt}= 25.13 pies/seg

--Hersonjmc 23:38 27 jul 2009 (UTC)Hersonjmc


Ejemplo#3


Un globo esferico se hincha con un gas a razon de 500 cm^3/min a que ritmo esta creciendo su radio cuando el radio es:

a.) 30 cm

b.) 60 cm

funciones:

V= volumen

r = radio

Relacion: V= 4/3 \pi r^3

condicion inicial:

\frac{dv}{dt}= 500 cm^3/min

Que nos estan pidiendo:


\frac{dr}{dt} en r= 30 cm

derivamos:


V= 4/3 \pi r^3


\frac{dv}{dt}= 4/3 \pi 3r^2\frac{dr}{dt}


\frac{500}{4 \pi r^2}= \frac{dr}{dt}


\frac{500}{4 \pi (30)^2}= \frac{dr}{dt}


0.04 cm/min \cong \frac{dr}{dt}

b.)

\frac{500}{4 \pi (60)^2}= \frac{dr}{dt}


\frac{dr}{dt} \cong 0.01 cm/min

--Hersonjmc 23:58 27 jul 2009 (UTC)Herson Marroquin
Ejemplo #4


La medida del radio de una bola de cojinete resulta ser 0.7 in, si ese aparato de medida comete unerror no superior a 0.01 in, estimar el error propagado en el volumen de la bola.

funciones:

v= volumen

r = radio

relacion:

V= 4/3 \pi r^3

condicion inicial:

dr = 0.01 in

Que nos estan pidiendo:

dv en r = 0.7 in

derivamos:


dv = 4/3 \pi r^3


dv= 4/3 \pi 3r^2 dr eliminamos el 3 del numerador y denominador y llegamos a:


dv= 4 \pi r^2 dr sustituimos los valoresde r y dr y nos queda


dv = 4 \pi (0.7)^2 (0.01 in)


dv \cong \pm 0.0615 in^3 --Hersonjmc 00:27 28 jul 2009 (UTC)herson Marroquin

Ejemplo # 5

Se esta inflando un globo esferico.Encuentre la razon de aumento del area superficial(s=4\pi r^2) con respecto al radio r, cuando este es de (a)1 pie, (b)2 pies, (c)3 pies.

s=4\pi r^2

s'=8\pi r^

Sustituimos (a)(b)y(c) en la derivada(a)=8\pi

(b)=16\pi

(c)=24\pi

Ejemplo # 6

Se suelta un globo en un punto a 150 ft alejado de un niño, quien se encuentra en el nivel del piso. Si este globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8 \frac{ft}{s} , ¿Qué tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando esté se encuentra a 50 ft de altura?

(a) Lo que nos dan: \frac{dh}{dt} = 8....