Razones de Cambio

 Introducción
Tema: RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES
En las ciencias tanto naturales como sociales se han establecido funciones, las cuales al ser derivadas determinan razones de cambio. Una razón de cambio significa la variación que existe de una cantidad con respecto de otra, y esta es una de las aplicaciones más significativas o más sobresalientes que la derivadapuede proporcionar en los problemas de la vida diaria.
Sabemos que si entonces, la derivada puede interpretarse como la razón de cambio de y respecto de x. En este tema estudiaremos, algunas de las aplicaciones de la derivada en la física, Química, Biología y Economía.
Debemos tener en cuenta que la idea básica de las razones de cambio está en el cambio de x, o sea: , y el cambio correspondienteen y será entonces , por lo tanto tendremos el cociente de diferencias:


Generalmente, en las ciencias que estudiaremos, hay dos aspectos que se derivan de las razones de cambio:
Razón de cambio Promedio:
será la razón de x respecto a y que exista para un intervalo , puede interpretarse gráficamente como la pendiente de la recta secante .
Razón de cambioInstantánea:
Se interpreta gráficamente cuando es la derivada de , y gráficamente esta es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto .
Siempre que la función tenga un significado en la ciencia, su derivada, tendrá una interpretación específica como razón de cambio.
F i s i c a
Si tenemos una función entonces:
Función posición: es la función de una partícula que semueve en línea recta, entonces representa el promedio de la velocidad en un periodo .

Velocidad instantánea: si tenemos inicialmente la función , al derivar esta función con respecto al tiempo obtendremos la función Velocidad (la razón de cambio del desplazamiento respecto al tiempo).

Aceleración: es la razón de cambio instantáneo de la Función Velocidad, en otras palabras paraobtener esta nueva función, derivamos la función .

Con esta información podremos con más facilidad resolver problemas de física acerca del movimiento de objetos.
Problema # 1
Planteamiento: una partícula se mueve según una ley del movimiento donde se mide en segundos y en pies.
a) Encuentre la velocidad en el instante
Solución sientonces


Por la regla de la derivada de una suma y una resta tenemos entonces:



R/
b) Cuál es la velocidad después de 2 segundos y 4 segundos?
Solución: en otras palabras debemos hallar la velocidad en los instantes
Hallemos la velocidad cuando

R/
Hallemos la velocidad cuando

R/
c) Cuandoesta la partícula en reposo?
Solución: estará en reposo cuando por lo tanto:
Entonces:



R/ en Reposo


d) Cuando se mueve hacia la dirección positiva?
Solución: se moverá en la dirección positiva cuando entonces:
→
→
_ __ -
_ _ - +
+ + + -
( ) (
Intervalo:
La partícula se mueve en la dirección positiva en el intervalo:R/
e) Hallar la distancia recorrida en los primeros 8 segundos.
Solución: debemos definir las etapas que recorrió en los primeros 8 segundos.
Las etapas son:






R/
Distancia recorrida en el intervalo de tiempo

f) Realice un esquema del movimiento de la partícula en los primeros 8 segundos....