Razones y Proporciones

Unidad: Variaciones proporcionales

Eje Temático: Números y Proporcionalidad

1. Razones y Proporciones 1.1 Definiciones
cero, se anota: En una razón:

Razón: Es el cuociente entre dos cantidades. La razón entre dos cantidades a y b, distintas de
a , o bien a : b , y se lee “a es a b”. b

• •


el numerador (a) es el antecedente. el denominador (b) es el consecuente. Ejemplo: Larazón entre 36 y 12 es:
36 = 3 ⇒ 36 → antecedente ; 12

12 → consecuente ;

3 → razón

Dadas las cantidades a y b, se pueden establecer dos razones a : b y b : a, generalmente distintas. Por ello, es importante aclarar el orden en una razón. Proporción: Es una igualdad entre dos razones. Ejemplo: La igualdad de fracciones a y d se denominan extremos b y c son medios
a c = , es unaproporción. b d

También se escribe “a : b = c : d” y se lee: “a es a b como c es a d”

1.2. Teorema Fundamental de las Proporciones
La propiedad fundamental de las proporciones establece que “el producto de los medios es igual al producto de los extremos”; es decir: a : b = c : d si y sólo si a · d = b · c o
a c = si y sólo si a · d = b · c b d

Ejemplo: ¿Es la expresión 15 : 18 = 20 : 24 unaproporción? Efectivamente se verifica lo anterior, estableciendo que: 15 · 24 = 18 · 20 360 = 360
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1.3 Propiedades
Si

a c = entonces se cumple: b d a c d c = a)⇔ = b a b d a c b d = b)⇔ = b d a c a c c a = c) ⇔ = b d d b a+b c+d a+b c+d d) Composición de proporciones = o = a c b da−b c−d a−b c−d Descomposición de proporciones e) = = o a c b d a+b c+d Componiendo y descomponiendo a la vez f) = a−b c−d

1.4 Clasificación
a) Proporción Discontinua: Es aquella que tiene todos sus términos desiguales.
Ejemplo: 21 49 = 7 3 a c b = d

Cuarta Proporcional: Es cada uno de los términos de una proporción discontinua. Ejemplo: Si 21 49 = , entonces se puede afirmarque: 3 7

49 es la cuarta proporcional entre 21, 7 y 3. 3 es la cuarta proporcional entre 21, 7 y 49. 7 es la cuarta proporcional entre 3, 49 y 21. 21 es la cuarta proporcional entre 49, 3 y 7.

b) Proporción Continua: Es la que tiene los medios o los extremos iguales:
4 6 = 6 9 Tercera Proporcional Geométrica: Es cada término no repetido de una proporción contínua. Ejemplo: Ejemplo: Si 46 = entonces se puede afirmar que: 6 9 a b = b d ó a c = b a

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4 es una Tercera proporcional entre 6 y 9. 9 es una Tercera proporcional entre 6 y 4.

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Media Proporcional Geométrica: Es el término que se repite en una proporción continua. 4 6 Ejemplo: Si = entonces sepuede afirmar que: 6 9 6 es la Media proporcional entre 4 y 9.

1.5 Serie de Razones o Proporciones
c a e = k; = k..., etc. d = k; b f c a e podemos escribir: = d = =... = k b f Si tenemos: Esta igualdad de dos o más razones se llama serie de razones o serie de proporciones. Se puede escribir también como: a:c:e=b:d:f Teorema: En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es ala suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente. c a e = =k = d b f De esto se tiene: a=b·k c=d·k e=f ·k Sumando obtenemos a + c + e = k (b + d + f) entonces: k = a+c+e a c e = = = b+d+f b d f

1.6 Proporcionalidad
aumenta (disminuye) en la misma proporción. X Esto se escribe: = k o X = k · Y, con k constante Y Ejemplo: Una motocicleta posee un rendimiento de 18,5km/L.¿Cuántos litros de bencina consumirá en 370 kilómetros?

a) Directa: “X” es directamente proporcional a “Y” si al aumentar (disminuir) “Y”, “X”
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La relación de 18,5 km/L indica que por cada 18,5 km consumirá un litro de bencina. El cuociente entre estas cantidades permanece constante e igual a 18,5 (el cual no posee unidad de medida). Por lo tanto, se trata...