Recta Tangente Y Normal

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Ecuaciones de la tangente y la normal
Ahora que sabemos cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva dada su ecuación, independientemente de que ésta sea una función o no lo sea, podemos calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en uno de sus puntos utilizando la derivada. Recuerda que para calcular la ecuación de una recta bastan dosdatos: su pendiente y un punto por el cual pase. Para calcular la pendiente de la recta vamos a utilizar la derivada evaluada en el punto de interés. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 en el punto P(2, 4). • Para calcular la ecuación de la recta necesitamos conocer la pendiente y un punto. • Ya conocemos el punto: P(2, 4), solamente falta la pendiente. • Vamos a calcular laderivada: dy = 2x dx Ejemplo 1

• La pendiente de la recta es igual a la derivada evaluada en el punto x = 2: m = 2(2) = 4 • Ahora que conocemos la pendiente y el punto podemos calcular la ecuación de la recta. • Para eso utilizamos la forma punto-pendiente: y − y1

= y−4 = y = y =

m · ( x − x1 ) 4 · ( x − 2) 4x−8+4 4x−4

• Para graficar esta recta observa que cuando x = 1, y = 0, esdecir, pasa por el punto Q(1, 0). • Evidentemente, también pasa por el punto P(2, 4). • Recuerda que la derivada de la función es la mejor aproximación lineal a la función en un punto. • En este caso, la recta y = 4 x − 4 es la mejor aproximación lineal a la función y = x2 en el punto P(2, 4). • La gráfica de la función y = x2 y la recta tangente en x = 2 muestra esto:

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y 9 y = x2 8 7 6 5 4 3 2 1 x 0 1 2 3 P(2, 4)
x−4

−3

−2

−1

Calcula la recta tangente a la función: Ejemplo 2 en el punto P(1, 1). y=

√

x

• Empezamos calculando la derivada de la función. • Para eso, expresamos la función como: y = x1/2 1 1 1 dy = x −1/2 = = √ dx 2 2 x1/2 2 x • Ahora evaluamos la derivada en el punto x = 1 para conocerla pendiente de la recta tangente a la función en ese punto: y (1) = 1 1 √ = 2 1

2

• Entonces la recta tangente pasa por el punto P(1, 1) y su pendiente es: m = 0.5.

y=4

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• Calculamos su ecuación usando la forma punto-pendiente: y − y1 y−1 2 ( y − 1) 2y−2 2y y • Ahora graficamos la función: y = y 4 3 y= 2 1 P(1,1) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y=

= m · ( x − x1 ) 1 = · ( x − 1) 2 = x−1 = x−1 = x−1+2 x+1 = 2

√

x y la recta tangente a esta curva en el punto P(1, 1):
1 2

x+

√

x

• La recta y = ( x+1)/2 es la mejor aproximación lineal a la gráfica de la función y = punto P(1, 1).

√

x en el

En matemáticas y en física algunas veces es de interés conocer, no solamente la recta tangente a unacurva, sino la recta perpendicular a la misma. Para calcularla, utilizaremos la condición de perpendicularidad entre dos rectas: Condición de perpendicularidad: Si m1 y m2 son las pendientes de dos rectas diculares ( 1 ⊥ 2 ), entonces, 1 m1 = − m2
1

y

2

perpenComentario

Entonces, para calcular la ecuación de la recta perpendicular a una curva nos ayudará conocer la recta tangente,porque la pendiente de ésta nos ayudará a calcular la pendiente de la recta normal (perpendicular). Recta normal La recta normal a una función y = f ( x ) en el punto P( x0 , f ( x0 )) es la línea recta que pasa por el punto P y que es perpendicular a la recta tangente a la función en P. Calcula la ecuación de la recta normal (perpendicular) a la función: y = Definición 1 Ejemplo 3

√

x en elpunto P(1, 1).

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• En el ejemplo anterior hemos calculado la pendiente de la recta tangente a esta función en el punto P(1, 1): m = 1/2. • Por la condición de perpendicularidad,la pendiente de la recta normal a la función es igual al recíproco de signo cambiado de la pendiente de la recta tangente: m⊥ = − 1 1 =− = −2 m 1/2...