recta tangente

CAPÍTULO

5
La derivada

1

5.1 La recta tangente
Los griegos sabían que una recta en el mismo plano que una cónica (en el caso de la parábola
o de la hipérbola, una recta no paralela a alguno de sus ejes) o la cortaba en dos puntos o la
tocaba en un punto, o no la cortaba. A la recta que tocaba la cónica en un punto la llamaban
tangente a la cónica en dicho punto.
Por ejemplo, en elcaso de la circunferencia sabían también que el radio que pasa por el punto de
contacto es perpendicular a tal tangente, por lo que no tenían problema para trazar la tangente a una
circunferencia en cualquiera de sus puntos.
te
gen
Tan
 ¡

 ¡

Secante

¥¦

£¤

a
Sec

nte

§

¢

Ta
ng
en
te

C

£¤

 ¡

P

Circunferencia
1

Elipse

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/2008

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I



e
nt
ca
te
Se
en
ng
Ta






Secante


¨©

Tangente

Parábola

Hipérbola

Pero lo descrito no se podía extender a otras curvas.
Pensemos ahora que tenemos la gráfica de una función f cualquiera y un punto P Œx0 ; f .x0 / fijo en
ella y que queremos precisar a cuál recta, de todas las que pasan por elpunto P , deberíamos llamarle
la tangente a la curva (a la gráfica de la función f ) en el punto.
Esto es, del haz infinito de rectas que pasan por el punto P de la gráfica de f :
y
P



f .x0 /

y D f .x/

x
x0

¿A cuál de ellas denominaremos recta tangente a la curva y D f .x/ en el punto P ?
¿Cuál será la pendiente m de la recta tangente a la curva y D f .x/ en el punto P ? Paracontestar a
esta pregunta es necesario calcular la pendiente de la recta tangente con el fin de conocerla.
Sea f una función definida en un cierto intervalo abierto que contiene a x0 y sea P Œx0 ; f .x0 / un
punto fijo en la gráfica de f .
Si tomamos cualquier otro punto QŒx; f .x/ sobre la gráfica de la función, la recta secante s que pasa
por P y Q corta a la gráfica de la función al menos en estosdos puntos, P y Q, por lo que no parece
2

5.1 La recta tangente

3

sensato pensar en ella como la tangente, pero en cambio sí parece lógico pensar que si Q estuviese
cerca de P , entonces la recta secante s se aproximaría la tangente buscada y podríamos entonces
pensar en definir la pendiente mt de la recta tangente en P como el límite de la pendiente de la recta
secante s, cuando elpunto Q tendiese al punto P .
y

y

Se
c

an
te

s

y D f .x/

f .x0 /



P

s

f .x/


Sec
a

nte

Q

f .x/

y D f .x/


P
f .x0 /

Q

x
x0

x

x

x0

x

Pero para que esto suceda, intuimos que debe existir en el punto P una única recta t que sea la
posición límite de las rectas secantes s, cuando el punto Q tiende al punto fijo P .Supongamos la
existencia de esta recta tangente t.
y

y

s3

y D f .x/

s2
Q2

t

#
"

Q1

f .x/

P

$

P

f .x/

y D f .x/

&

!

f .x0 /

f .x0 /

s1

%

Q3

Q3

t

(
'

s1 Q1
x
x0

x

s2

Q2

s3
x
x0

x

La pendiente de la recta secante s es
ms D tan ˛ D

f .x/
x

f .x0 /
f .x0 /
D
x0
x0

f .x/
x

y como x ! x0 cuandoQ ! P , podríamos pensar que la pendiente mt de la recta tangente t es
f .x/
x!x0
x

mt D lím ms D lím ms D lím
Q!P

x!x0

f .x0 /
f .x0 /
D lím
x!x0
x0
x0

f .x/
:
x

3

4

Cálculo Diferencial e Integral I
y
y D f .x/

Q

f .x/

)

f .x/
˛

P

f .x0 //

f .x0 /

)

x

x0

˛
x
x0

x

Ejemplo 5.1.1 El punto P .1; 3/ está en la gráfica de lafunción f .x/ D 4 x 2 . Considerando valores de x
alrededor (cerca) de x0 D 1, ubicar los puntos QŒx; f .x/ resultantes y calcular las pendientes ms de las rectas
secantes s que pasan por P y por Q.

H Ésta es la gráfica de f :

y

P .1; 3/

f .1/ D 3

y D f .x/ D 4

x
1

Se genera la tabla siguiente:
4

x2

5.1 La recta tangente

5

x

f .x/

QŒx; f .x/

x

1...