rectas y angulos en el plano

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA 1.
DIMENSIÓN: CONOCIMIENTO MATEMÁTICO.
NÚCLEO TÉMATICO: GEOMÉTRIA I.
MÓDULO: 2.
TEMA: RECTAS Y ÁNGULOS EN EL PLANO.
Materiales: Regla, escuadras, transportador.
RECTAS Y PLANOS.
Definición. Un conjunto de puntos están alineados o son colineales, si hay una recta que los contiene. Ejemplos:

.. .
. . .
A

b)

B

C

A

a)

C

B

están alineados

no están alineados.

Definición. Un conjunto de puntos son coplanarios, si hay un plano que los contiene a todos. Ejemplos:

A

.
.. .

D

P

. .. .
B

B

C

A

D

son coplanarios

P

C

no son coplanarios

Postulado.
a) Todo plano contiene al menos tres puntos no alineados.
b) El espaciocontiene al menos cuatro puntos que no están en un plano.
Separación del plano.
Una recta L divide a un plano E, en dos semiplanos

y

. . .
H1

L

E

Q

P

R

H2

Si dos puntos P y Q del plano se encuentran en el mismo semiplano, se dice que se encuentran del mismo lado
de la recta L. En este caso ̅̅̅̅ no corta a L. Si P y R están en semiplanos distintos del plano, se dice queestán
en lados opuestos del L y ̅̅̅̅ corta a L. La recta L es llamada arista.
TEOREMA.
Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene solamente un punto.
Demostración:
1) Supongamos que dos rectas diferentes se intersecan en dos puntos diferentes P y Q.
2) Existirán dos rectas diferentes que contienen a P y Q, contrario al postulado de la recta.
ACTIVIDADES 1.

P

1.El dibujo corresponde a una figura tridimensional. Decidir si los puntos de los
conjuntos indicados, 1) están alineados, 2) no están alineados, pero son coplanarios,
3) no son coplanarios:
a) {A, B, C, D}
d) {P, B, C}

b) {A, D, B}
c) {P, D, Q}
e) {A, B, C, Q}

C
A
D

B
Q

2. ¿Cuántas rectas pueden contener a un punto dado? ¿A dos puntos? ¿A tres puntos dados cualesquiera?.Rectas y ángulos en el plano.

2

3. P y Q son dos puntos diferentes. La recta L1 contiene a P y a Q. La recta L2 contiene a P y a Q. ¿Qué podemos asegurar acerca de L1 y L2? ¿Qué postulado o teorema justifica la conclusión?
4. L1 y L2 son rectas distintas. El punto P está en L1 y L2. El punto Q está en L1 y L2. ¿Qué podemos asegurar
acerca de P y de Q? ¿Qué postulado o teorema justifica laconclusión?
Postulado. Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está en el plano.
TEOREMA.
Si una recta interseca al plano que no la contiene, entonces la intersección contiene
P
un solo punto.
Demostración:
1) Supongamos que la recta interseca al plano en dos puntos.
2) Estos puntos estarán en el plano y en la recta.
3) Por el postulado anterior, la recta estácontenida en el plano, contrario a la hipótesis que asegura que el
plano no contiene a la recta.
Postulado. Tres puntos cualesquiera no alineados, están exactamente en un plano (determinan un plano) y tres
puntos cualesquiera están al menos en un plano (son coplanarios).
TEOREMA.
Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que los
P
contiene.
L
Hay que demostrar:
E
i)Existe un plano E que contiene a P y a L
ii)
Hay solamente un plano E que contiene a P y a L.
Demostración de i):
1. Tomemos dos puntos Q y R de L.
(Toda recta tiene infinidad de puntos)
2. Existe un plano E que contiene a P, Q y R (Postulado anterior)
3. E contiene a L
(Q y R están en L)
4. E contiene a L y a P
2) y 3)
Demostración de ii):
1. Supongamos que existe otro plano E’ quetiene a P y a L.
2. E’ tiene a P, a Q y a R.
(Postulado anterior)
3. P, Q y R no están alineados (L es la única recta que tiene a Q y a R y L n contiene a P)
4. Existen dos planos E y E’ determinados por tres puntos no alineados, contrario al postulado anterior.

.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN UN PLANO.
Dadas dos rectas en un plano puede suceder:
 Que se cortan en un punto....