Regla cramer

Regla de Cramer
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: El número de ecuaciones es igual al número deincógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Llamemos Δ el determinante de la matriz de coeficientes de lasincógnitas.

Y sean: Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes la columna de los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ªcolumna y en la enésima columna respectivamente. Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

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Ejemplo

Teorema de Rouché-Fröbenius
Llamamosmatriz ampliada de la matriz de los coeficientes de las incógnitas a la matriz que se obtiene añadiendo a la matriz de los coeficientes la columna correspondiente a los términos independientes. Sidesignamos por A la matriz de los coeficientes, la ampliada se denotaría como A´ (también se utiliza A y A*). La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tengasolución es que el rango de la matriz de los coeficientes (r) y el de la matriz ampliada (r´)sean iguales.


r = r' r ≠ r'



Sistema Compatible. o Si r = r'= n Sistema Compatible Determinado. oSi r = r'≠ n Sistema Compatible Indeterminado. Sistema Incompatible.

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.
2

r(A) =3 2. Hallamos el rango de la matriz ampliada

r(A') = 3 3. Aplicamos el teorema de Rouché.

4. Se resuelve el sistema, si éste no es incompatible, por la regla de Cramer o por el método de GaussTomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3, que tiene rango 3, y lo resolvemos.

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Sistemas homogéneos
Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos...