Propiedades de las determinantes, regla de cramer

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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Los determinantes tiene muchas propiedades especiales, alguna de la cuales las enunciamos aquí:

Sea A una matriz cuadrada
1) Si toda entrada enuna fila (o columna) es cero entonces [pic].
2) Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces [pic].
3) Si una matriz B se forma multiplicandocada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces [pic].
4) Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces [pic]
5) Si una matriz B seforma remplazando cualquier fila (o columna) de A por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o columna) de A, entonces [pic]

Ejemplos:

- Sin desarrollas de deduce “Sitoda entrada en una fila (o columna) es cero entonces [pic].”

[pic]

- Se deduce “Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces [pic]”.

[pic][pic]

- Sefactoriza dos de cada entrada de la primera fila “Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces [pic]”.

[pic]

- Como la primera ysegunda columna son iguales entonces se deduce “Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces [pic]”

[pic]

EJERCICIOS I

En los siguientes problemas establezca por qué laigualdad es verdadera sin calcular los determinantes dados.

1) [pic] 2) [pic] 3) [pic]

4) [pic] 5) [pic]

6) [pic] 7)[pic]

8)[pic]

USO DE TRANSFORMACIONES DE RENGLON YCOLUMNA

Encuentra [pic] si [pic]

Ahora vamos a proceder a transformar renglón y columna de manera de introducir 0.

Es importante encontrar donde hay un 1 porque esto evita el uso de fracciones.Si no hay 1 en la matriz original utilizando los teoremas:

Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces [pic]....
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