Regla de Cramer

Regla de Cramer

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual alnúmero de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.










Llamemos el determinante de lamatriz de coeficientes de las incógnitas.








Y sean:

1, 2 , 3 ... , n

los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes la columna de los términos independientes)en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:1






























Ejemplo






















Teorema de Rouché-FröbeniusLlamamos matriz ampliada de la matriz de los coeficientes de las incógnitas a la matriz que se obtiene añadiendo a la matriz de los coeficientes la columna correspondiente a los términosindependientes. Si designamos por A la matriz de los coeficientes, la ampliada se denotaría como A´ (también se utiliza A y A*).

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y nincógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes (r) y el de la matriz ampliada (r´)sean iguales.


r = r'
Sistema Compatible.


o
Si r = r'= n
Sistema CompatibleDeterminado.


o
Si '
Sistema Compatible Indeterminado.

'
Sistema Incompatible.

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:








1. Tomamos la matriz de loscoeficientes y le hallamos el rango.

2











r(A) = 3

2. Hallamos el rango de la matriz ampliada


















r(A') = 3

Aplicamos el teorema de Rouché....