Regla de cramer

Regla de Cramer
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que
cumplan las dos condiciones siguientes:
El número de ecuaciones es igual al númerode incógnitas.
El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Llamemos Δ el determinante de la matriz de coeficientes de lasincógnitas.

Y sean:
Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n
los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes la columna de los términos
independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la3ª columna y en la enésima columna
respectivamente.
Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

1

Ejemplo

Teorema de Rouché-FröbeniusLlamamos matriz ampliada de la matriz de los coeficientes de las incógnitas a la matriz que se obtiene
añadiendo a la matriz de los coeficientes la columna correspondiente a los términos independientes.Si
designamos por A la matriz de los coeficientes, la ampliada se denotaría como A´ (también se utiliza A y
A*).
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y nincógnitas tenga solución
es que el rango de la matriz de los coeficientes (r) y el de la matriz ampliada (r´)sean iguales.


r = r'



r ≠ r'

Sistema Compatible.
o Si r = r'= n SistemaCompatible Determinado.
o Si r = r'≠ n Sistema Compatible Indeterminado.
Sistema Incompatible.

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos elrango.
2

r(A) = 3
2. Hallamos el rango de la matriz ampliada

r(A') = 3
3. Aplicamos el teorema de Rouché.

4. Se resuelve el sistema, si éste no es incompatible, por la regla de Cramer opor el método de
Gauss
Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3, que tiene rango 3, y lo
resolvemos.

3

Sistemas homogéneos
Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas...