Regla Ruffini

POLINOMIOS: REGLA DE RUFFINI


En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a)
Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a”de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”.

Ejemplo: x4+6x3+x2-24x+16

El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16
16 tiene por divisor 1,2,3,4,8,16. cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión
Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimospara los divisores de 16.
Probamos con 2: Si x4+6x3+x2-24x+16, Sus coeficientes en orden son:


1 6 1 -24 16 2
2 16 34 20
1 8 17 10 36 NO




1 6 1 -24 16 -4
-4 -8 28 -16
1 2 -7 4 0 SI

Coeficientes resultantes
(x3+2x2-7x+4) (x+4)

Volvemos a dividir:
1 2 -7 4 1
1 3 -4
1 3 -4 0 SI

(x2+3x-4) (x-1) (x+4)
(x+4) (x-1) (x-1) (x+4)
= (x+4)2 (x-1)2Comprobación como nos dio cero cuando a=-4 reemplazamos en el polinomio original.
= x4 + 6x3 + x2 - 24x + 16
= (-4)4 + 6(-4) + (-4)2 - 24(-4) + 16
= 256-384+16+96+16
= 0 es lo que debe suceder


Ejemplo2. x3-3x-2

1 0 -3 -2 1
1 1 -2
1 1 -2 -4 NO

1 0 -3 -2 -1
-1 +1 +2
1 -1 -1 0 SI

(x2-x-2) (X-1) El trinomio es de la 2da. Forma
(x-2) (x+1) (x-1)Comprobación:
= x3-3x-2
= (-1)3 – 3(-1) – 2
= -1 + 3 -2
= 0


Ejemplo3. x3 + 16x - 5 - 8x2

Ordenamos: x3- 8x2 + 16x - 5
Tomamos los coeficientes: 1 – 8 + 16 – 5
Consideramos los divisores de 5 que son: +1, -1, +5, -5
Probamos con +1 : 1 – 8 + 16 – 5 +1
1 -7 +9
1 -7 +9 +4 NO

Probamos con +5: 1 – 8 + 16 – 5 +1
+5 -15 +51 -3 +1 0 SI

Por consiguiente el polinomio es divisible por (x-5) y la factorización es:
x3- 8x2 + 16x - 5 = (x-5) (x2-3x+1)
Comprobación: si a = ±5 al reemplazar en el polinomio debe darnos cero.
= (+5)3 – 8(+5)2 + 16(+5) -5
= 125-200+80-5
= 0 es lo que debe darnos




Polinomio

Es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables(no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmentetambién el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funcionespolinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.

Historia

La resolución de ecuacionesalgebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.
En el problema 14º del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C.) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2...