Reglas De Derivaciocc81n

UNIDAD 3
DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Propósitos: Continuar el estudio del concepto de derivada a través del manejo de su representación algebraica buscando que el alumno reconozca a las reglas de derivadas como un camino más eficaz de obtener la derivada de una función.

En la Unidad siguiente, pretendemos que:
Obtengas la derivada de una función polinomial de 1°, 2do ó 3ergrado usando la definición

Identifiques el patrón de comportamiento de las derivadas obtenidas con el límite del cociente.
Calcules la derivada de funciones algebraicas usando las reglas de derivación.
Reconozcas la jerarquía de las operaciones involucradas en la regla de correspondencia de una función para aplicar correctamente las reglas de derivación.
Identifiques las relacionesexistentes entre la gráfica de una función y la gráfica de su derivada.
Obtengas la ecuación de la recta tangente en un punto de la gráfica de una función.
Obtengas la velocidad instantánea como la derivada de la función posición y la aceleración como la derivada de la velocidad.
Des significado a la derivada de una función en el contexto de un problema.

INTRODUCCIÓN.

Significado IntuitivoDel Concepto De Límite.

La idea de límite, es fundamental en el cálculo, pero no es una idea aislada y equivale a lo siguiente. Para determinar el valor exacto de una cierta magnitud determinamos primero, no la magnitud en sí, sino una aproximación de ella. Sin embargo, no hacemos una única aproximación sino una serie de ellas (un proceso), cada una de las cuales es más precisa que laanterior, ya que se acerca al valor buscado (un proceso infinito). Del examen de esta serie de aproximaciones determinamos unívocamente el valor exacto de la magnitud. Por este método, que es en esencia profundamente dialéctico, obtenemos una constante fija como resultado de un proceso o movimiento.

Ejemplo 1. En el problema de la pelota en la unidad 2, se quiere calcular la velocidadinstantánea a los 3 segundos, en donde la distancia está dada por la función , así, en este ejemplo debemos calcular el límite siguiente:



En este caso la velocidad promedio esta dada por la función observa que la función no esta definida para (¿por qué?), es por está razón, una forma de conjeturar su valor en ese tiempo, es calculando valores de para valores de proximos a 3 y asíinferir su valor cuando es 3, a este valor es a lo que se le llama el límite, en este ejemplo de la función en , los valores de cuando se aproxima por la izquierda al número 3, se resumen en la tabla siguiente.


En este caso, empleamos la notación siguiente:



Escribimos por que nos aproximamos al número 3 con valores inferiores a él, por otra parte, escribimos cuando nos aproximamos alnúmero 3, con valores superiores a él.

Ahora aproximemonos con valores mayores a 3, estos valores se resumen en la tabla que se muestra a continuación:


Por lo que se cumple:



Como en ambos acercamientos (derecha e izquierda) el valor del límite es el mismo, decimo que el límite de la función en es y se escribe de la manera siguiente:




Definición intuitiva de límite.

Cuandoescribimos se lee ”el límite de , cuando tiende al número , es igual a ” y significa quepuede acercarse arbitrariamente a (si la distancia es tan pequeña, como queramos) siempre que se elija lo suficientemente cercano al número pero no igual a él (si es pequeña también).

Ilustraremos el proceso límite con la gráfica siguiente:
















Aunque no es complicado tomarvalores cada vez más cercanos al número en donde queremos calcular el límite, el método de aproximaciones es largo, por esa razón se buscan técnicas (algunas algebraicas) las cuales faciliten este cálculo, pero, sin dejar de pensar que el cálculo de límites es una aproximación de un proceso infinito.
Con este fin iniciaremos calculando los límites más sencillos, no es difícil ver que...