Regresión lineal


En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Estemodelo puede ser expresado como:
Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots +\beta_p X_p + \varepsilon
Y_t: variable dependiente, explicada o regresando.
X_1, X_2, \cdots, X_p : variablesexplicativas, independientes o regresores.
\beta_0,\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_p : parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.
donde \beta_0 es laintersección o término "constante", las \beta_i \ (i > 0) son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y p es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión.La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas X_k (k = 1,...K), o cualquier transformaciónde éstas, que generan un hiperplano de parámetros \beta_k desconocidos:
(2) Y = \sum \beta_k X_k + \varepsilon
donde \varepsilon es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factoresde la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa,el hiperplano es una recta:
(3) Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \varepsilon
El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos \beta_k, de modoque la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de lavariable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
(4) Y_i = \sum \beta_k X_{ki} + \varepsilon_i
Los valores escogidos como estimadores de...