Regresión Lineal

ANÁLISIS DE
REGRESIÓN LINEAL

ANÁLISIS DE REGRESIÓN
En muchas aplicaciones estadística se debe
resolver problemas que contienen dos
variables cuantitativas. En el análisis de
regresión simple:
X: Variable independiente
Y: Variable dependiente

ANÁLISIS DE CORRELACIÓN
- Diagrama de dispersión (método
grafico)
- Coeficiente de Correlación (r)
- coeficiente de determinación (r2)

MODELO DEREGRESIÓN
El modelo de regresión es simple:


Y b0  b1 x

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
El diagrama de dispersión es la grafica de los valores (xi, yi) de las variables X e
Y en el sistema cartesiano. En el diagrama se visualiza el tipo de correlación
existente entre las variable dependiente (Y) y la variable independiente (X).

Correlación
Lineal Positiva o
Directa

Correlación
Lineal Negativa
o InversaCorrelación no
Lineal

Correlación Nula

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON (r)
El coeficiente de correlación (r)
mide el grado de afinidad o
asociación entre dos o más
variables cuando están relacionadas
mediante una línea recta.
El coeficiente de correlación r es un
numero comprendido entre -1 y 1.
El coeficiente de correlación lineal
de Pearson:
r

n XY 

 X Y
n  X  ( X ) n Y ( Y )
2

2

 1 r 1

2

2

Si el modelo tiene pendiente positiva:
0.00 ≤ r < 0.20; correlación no significativa
0.20 ≤ r < 0.40; correlación baja
0.40 ≤ r < 0.70; correlación moderada
0.70 ≤ r < 1; alto grado de correlación
Si el modelo tiene pendiente negativa:
-1 < r ≤ -0.70; alto grado de correlación
-0.70 < r ≤ -0.40; correlación moderada
-0.40 < r ≤ -0.20; correlación baja
-0.20 < r ≤0.00; correlación no significativa
Importante:
Si r = 1; correlación perfecta positiva entre
X e Y, todos los puntos se encuentran sobre
la recta de regresión.
Si r = -1; correlación perfecta negativa entre
X e Y, si todos los puntos se encuentran
sobre la recta de regresión.
Si r = 0; los datos son incorrelacionados.

COVARIANZA
La covarianza es una estadística que mide el grado de dispersiónconjunta de
dos variables X e Y.
Las covarianzas de n valores (x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn) de una variable
bidimensional (X, Y) que denotaremos por Cov(X, Y) o S XY se define como la
media aritmética de los productos de la diferencia de los datos con respecto
a su correspondientes medias. Esto es:

Cov( X , Y )  S XY

1 n
1 n
  ( xi  x)( y i  y )   xy  x y
n i 1
n i 1

COEFICIENTE DEDETERMINACIÓN

La primera forma del estudio de la asociación entre las variables X e Y,
es denominada correlación, que consiste en determinar la variación
conjunta de las dos variables, su grado de relación y su sentido. Tal
medida se denomina coeficiente de correlación (r). El cuadrado del índice
de correlación se denomina coeficiente de determinación (r2).
El coeficiente de determinación mide lavariación de Y que se explica por la
variable independiente X en el modelo de regresión.
2

r 

b0  Y  b1  XY  nY

Y

2

 nY

2

2

AJUSTE DE UNA FUNCIÓN DE REGRESIÓN
Ajustar una función de regresión significa buscar o definir la función que exprese
con mayor precisión la relación entre variables. Gráficamente será aquella función
que mejor se adecué al diagrama de dispersión (nube depuntos)
En el ajuste de funciones de regresión simple, se pueden utilizar diversas funciones
matemáticas conocidas:

LÍNEA RECTA



Y b0  b1 x

CURVA EXPONENCIAL


x

Y b0 b1 


log Y log b0  (log b1 ) x

CURVA POTENCIAL


Y b0 x b1 


log Y log b0  b1 log x

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
El objetivo de la regresión simple es
estimar la relación que existe entre
dos variables X e Y(valorreal). El
modelo de regresión es:


Y b0  b1 x

Los parámetros b0 y b1 de la
función de regresión se obtienen
a partir de las Ecuaciones
Normales obtenida por el Método
de los Mínimos Cuadrados
n

X Y
i

i

i 1



Y= Valor estimado


Esto expresa “ Y es un valor estimado
a partir de valores reales de X”, que
sería un “modelo de regresión de Y
sobre X”, donde:
Y = Variable dependiente o...