RegresiónLogística

Universidad del Valle
Estadística Aplicada III
Cali, Agosto-Diciembre de 2012

Aplicación de un modelo logit con el bajo peso al nacer
Estadística Aplicada III
Modelo de Regresión Logística
Daniel Muñoz Palma a , Juan Pablo Argote Osorio b
Escuela de Estadística, Facultad de Ingeniería, Universidad del Valle, Cali, Colombia

Resumen
El objetivo de este trabajo es dar una introducciónacerca del modelo de regresión logística
y utilizar este método para modelar la relación lineal entre las variables explicativas y una transformación, denominada logit de la variable respuesta. Para ello, se toma como base un estudio
(Hosmer − Lemeshow2000) que involucra variables que representan factores de riesgo asociados con
el nacimiento de niños con bajo peso. Al finalizar este trabajo seespera reconocer que un modelo
de regresión logística es una de las herramientas estadísticas con mejor capacidad para el análisis de
datos en investigación clínica y epidemiología (Florez n.d.), de ahí la amplia utilización en estudios
que consisten en investigar factores causales de una determinada característica de la población, entre
otros.
Palabras clave: Regresión Logística.

1.INTRODUCCIÓN
En este trabajo se presenta un método alternativo para tranformar datos, cuando no se satisfacen
las hipótesis “acostumbradas´´ de normalidad y de varianza constante llamado el modelo lineal generalizado (GML), este permite incorporar distribuciones de respuesta no normales, con la condición
que la variable respuesta sólo necesita ser un miembro de la familia exponencial, que comprende alas
distribuciones Normal, Poisson, binomial, Exponcecial y Gamma entre sus miembros (Montgomery 2003).
Se realizará un descripción detallada y aplicación de esos modelos examinando el caso de la regresión
logística, que es una situación en la que la variable respuesta sólo tiene dos resultados, llamados, “1
=éxito´´ y “0= fracaso´´.

2. DEFINICIÓN
Sea y una variable dependiente binariaque toma dos valores posibles etiquetados como 0 y 1; esos
números podrían ser asignados arbitrarias a una respuesta cualitativa. Sean x1 , .., xk un conjunto de
variables independientes observadas con el fin de explicar y/o predecir el valor de y. Supóngase que el
modelo tiene la forma
a Estudiante
b Estudiante

de Estadística. E-mail: danch_17@hotmail.com
de Estadística. E-mail:jpmayorbison@yahoo.es

1

2

Daniel Muñoz Palma & Juan Pablo Argote Osorio

yi = xi β +

(1)

i

en donde xi = [1, xi1 , xi2 , .., xik ], β = [β0 , β1, .., βk], y la variable respuesta yi es una variable aleatoria
de Bernoulli donde: P (yi = 1) = π, P (yi = 0) = 1 − π.
Como la E(εi ) = 0, el valor esperado de la variable de respuesta es E(yi ) = 1(π) + 0(1 − π) = π,
implicando que E(yi ) =xi β = π, es decir que la respuesta esperada no es más que la probabilidad de que
la variable respuesta tenga el valor de 1. Dado que εi sólo puede tener dos valores, que son εi = 1 − xi β
cuando yi = 1 y εi = −xi β cuando yi = 0, en consecuencia, no es posible que los errores en este modelo
sean normales. De igual manera la varianza del error no es constante, ya que la ecuación(2), muestra quela varianza de y varía por tanto de observación a observación de acuerdo con los valores que toman los
regresores.
2
σyi = π(1 − π)

(2)

Según (Montgomery 2003), en general, cuando la variable de respuesta es binaria, hay bastantes pruebas
empíricas que indican que la forma de la función de respuesta debe ser no lineal, por tanto; a esta función
se le llama función de respuestalogística y tiene la forma:
E(y) = π =

1
eη
=
η
1+e
1+η

(3)

Donde η = xi β el predictor lineal, esta función se puede linealizar de forma:
π
)
η = Log(
1−π

(4)

A esta transformación se le llama con frecuencia transformación logit de la probabilidad de π,
π
y la relación 1−π en la transformación se le llama ventaja. De este modo la transformación anterior,
constituye la...