Regresion de variables instrumentales

Regresión con Variables Instrumentales (VI) (SW Capítulo 10)
Tres problemas a considerar:  Sesgo por omisión de variables (OV) no observadas (y, por tanto, no incluidas en la regresión) que están correlacionadas con X;  Sesgo por causalidad simultánea (CS); es decir, X causa a Y e Y causa a X;  Sesgo por errores en las variables (EV); es decir, medimos X con error. La regresión VI puedeeliminar los anteriores sesgos.
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El estimador VI con un único regresor y un único instrumento (SW Sección 10.1) Yi = 0 + 1Xi + ui  La regresión VI divide X en dos partes: una que puede estar correlacionada con u, y la otra que no. Aislando esta última, podremos estimar 1.  Para ello, utilizaremos una variable instrumental, Zi, no correlacionada con ui.  Para estimar 1, la VI detectaaquellos movimientos en Xi que no están correlacionados con ui.
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Terminología: endogeneidad y exogeneidad Una variable es endógena si está correlacionada con u. Una variable es exógena si no lo está. Nota histórica: “Endógeno” significa literalmente “determinado dentro del sistema,” es decir, una variable que se determina conjuntamente con Y, o bien que está sujeta a CS. Sin embargo, nuestradefinición es más general y la regresión IV puede utilizarse también en los casos OV y EV.

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Dos condiciones para que un instrumento sea válido Yi = 0 + 1Xi + ui Para que un “instrumento” Z sea válido, debe satisfacer las dos siguientes condiciones: 1. 2. relevante: corr(Zi,Xi) ¹ 0 exógeno: corr(Zi,ui) = 0

Supongamos que disponemos de un Zi (discutiremos posteriormente la forma deobtenerlo). ¿Cómo lo podemos utilizar para estimar 1?
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El estimador VI: una X y una Z Explicación #1: Mínimos Cuadrados en Dos Etapas Como suena: MC2E tiene dos etapas – dos regresiones: (1) Primero se aísla la parte de X que no está correlacionada con u: regresión de X sobre Z por MCO Xi = 0 + 1Zi + vi  Como Zi no está correlacionada con ui, 0 + 1Zi tampoco lo estará con ui. Noconocemos 0 or 1 pero sabemos estimarlos.
ˆ ˆ ˆ ˆ  Hallar las estimaciones de Xi, X i , donde X i =  0 +  1

(1)

Zi, i = 1,…,n.
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ˆ (2) Reemplazar Xi por X i en la regresión de interés: ˆ regresión de Y sobre X i por MCO: ˆ Yi = 0 + 1 X i + ui

(2)

ˆ  Como X i no está correlacionada con ui en muestras

grandes, el primero de los supuestos MCO se cumple.  Por tanto, 1puede estimarse por MCO en (2)  Éste es un argumento de muestras grandes (es decir 0 y

1 estarán bien estimadas en (1))
ˆ  El estimador resultante es el MC2E, 1MC 2 E .

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MC2E (Continuación) Si disponemos de un instrumento válido, Zi, Etapa 1ª: ˆ Regresión de Xi sobre Zi, para obtener X i Etapa 2ª: ˆ ˆ Regresión de Yi sobre X i ; el coeficiente de X i es el
ˆ MC2E, 1MC 2 E . ˆEntonces, 1MC 2 E es consistente de 1.
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El estimador VI: una X y una Z, (continuación). Explicación #2: (sólo) un poco de álgebra Yi = 0 + 1Xi + ui Entonces, cov(Yi,Zi) = cov(0 + 1Xi + ui,Zi) = cov(0,Zi) + cov(1Xi,Zi) + cov(ui,Zi) = 0 + cov(1Xi,Zi) + 0 = 1cov(Xi,Zi) donde cov(ui,Zi) = 0 (instrumento exógeno); por tanto
cov(Yi , Z i ) 1 = cov( X i , Z i )
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El estimadorVI: una X y una Z. (continuación)
cov(Yi , Z i ) 1 = cov( X i , Z i )

El estimador VI reemplaza estas covarianzas poblacionales por las muestrales:
ˆ MC 2 E = sYZ , 1 s XZ

sYZ y sXZ son las covarianzas muestrales. Éste es el estimador MC2E – una derivación diferente.
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Consistencia del estimador MC2E
ˆ MC 2 E = sYZ 1 s XZ

Las covarianzas muestrales son consistentes: sYZ cov(Y,Z) y sXZ  cov(X,Z). Por tanto,
ˆ 
MC 2 E 1

p

p

sYZ p cov(Y , Z ) = = 1  cov( X , Z ) s XZ

 La condición de relevancia del instrumento, cov(X,Z) ¹ 0, impide dividir por cero.
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Ejemplo #2: Oferta y demanda de mantequilla La regresión IV tuvo su origen en la estimación de elasticidades de demanda de bienes agrícolas, por ejemplo la de la mantequilla: ln(Qimant ) =...