regresion lineal

Modelo de Regresión Lineal.

La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805, y en dónde se incluía una versión del teorema de Gauss-Márkov.
El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas (es decir las medidas del hombre): al comparar la estatura de padres ehijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio. La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal seemplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso.
Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientessupuestos:
1. La relación entre las variables es lineal.
2. Los errores en la medición de las variables explicativas son independientes entre sí.
3. Los errores tienen varianza constante. (Homocedasticidad) (la varianza de los errores es constante).
4. Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables).
5. El errortotal es la suma de todos los errores.
El análisis de regresión es una técnica estadística para investigar la relación funcional entre dos o más variables, ajustando algún modelo matemático.

La regresión lineal simple utiliza una sola variable de regresión y el caso más sencillo es el modelo de línea recta. Supóngase que se tiene un conjunto de n pares de observaciones (xi,yi), se busca encontraruna recta que describa de la mejor manera cada uno de esos pares observados.

Conceptos básicos sobre el análisis de regresión lineal.

El modelo de regresión lineal es el más utilizado a la hora de predecir los valores de una variable cuantitativa a partir de los valores de otra variable explicativa también cuantitativa (modelo de regresión lineal simple). Una generalización de este modelo,el de regresión lineal múltiple, permite considerar más de una variable explicativa cuantitativa. Por otra parte, tal como se verá en un tema posterior, es también posible incluir variables explicativas categóricas en un modelo de regresión lineal si se sigue una determinada estrategia en la codificación de los datos conocida como codificación ficticia.

En concreto, según el modelo de regresiónlineal simple, las puntuaciones de los sujetos en 2 variables -una de ellas considerada como variable predictora (X) y la otra como variable de respuesta (Y)- vienen representadas (modeladas) por la ecuación de una línea recta:



Cuando hay más de una variable explicativa (modelo de regresión lineal múltiple), se utiliza un subíndice para cada una de ellas, por ejemplo, para el caso de dosvariables explicativas:

• Los dos parámetros de la ecuación de regresión lineal simple, β0 y β1, son conocidos como el origen (también, constante) y la pendiente del modelo, respectivamente. En conjunto reciben el nombre de coeficientes de la ecuación de regresión. Si la ecuación de la recta de regresión es obtenida a partir de una muestra, y no de una población (esto es, los coeficientes dela ecuación de regresión son estadísticos, y no parámetros), la ecuación se expresa como:


• Una vez que sean conocidos los valores de β0 y β1 del modelo de regresión lineal simple, éste puede ser utilizado como modelo predictivo, esto es, para realizar predicciones de los valores que tomará la variable de respuesta para determinados valores de la variable explicativa. Basta para ello con...