regresion no lineal

CONTINUACION DE LA UNIDAD TEMATICA 3: REGRESION NO LINEAL

En muchas situaciones, si la recta de regresión no ajusta correctamente al conjunto de datos bivariados, se puede lograr hacer un ajuste de otras curvas conocidas. En algunos casos, el procedimiento consiste en aplicar, a los datos, transformaciones previas que permitan la “linealización” de la relación entre las variables, para luegoaplicar el método de los mínimos cuadrados.

Entre los modelos más comunes de regresión no lineal entre las variables X e Y tenemos los siguientes: el polinomio de segundo grado, el modelo exponencial y el modelo potencial.

MODELO POLINOMIAL DE SEGUNDO ORDEN (PARABOLA)

En muchas situaciones, la relación que existe entre una variable regresora (independiente) X y una variable de respuesta(dependiente) Y , se representa mediante el modelo de regresión polinomial de segundo orden:



donde , error o perturbación, es una variable aleatoria que explica la variabilidad de Y que no puede ser explicada por X, según el modelo planteado.
En la práctica, se estima este modelo mediante la función:



Utilizando el método de mínimos cuadrados, se trata de estimar los parámetrosencontrando los valores a, b y c (coeficientes de regresión) de tal manera que la suma de los errores al cuadrado sea mínima.
sea mínima. (1)

Utilizando el cálculo diferencial se puede demostrar que los valores que minimizan la expresión (1) se obtienen a partir de las siguientes ecuaciones llamadas ecuaciones normales:





La solución de este sistema deecuaciones nos permite obtener los valores de los coeficientes de regresión a, b y c.


Aplicando el método de determinantes:


n ∑xi ∑xi2
∆ = ∑xi ∑xi2 ∑xi3 a=Det. a / ∆ b= Det. b / ∆ c= Det. c / ∆
∑xi2 ∑xi3 ∑xi 4


La ecuación de regresión estimada es conocida tambiéncomo parábola mínimo cuadrática. El coeficiente de regresión C nos indica que el crecimiento de Y en promedio es proporcional al cuadrado del crecimiento de X.

Para evaluar la bondad del ajuste se utiliza:

El error estándar de estimación: S yx = [ ∑ (yi-y’)2/ n-p ] 1/2

S yx =

El coeficiente de determinación R2= = = =

R2=

Resumiendo tenemos:

Tabla de análisis devarianza para probar la significancia de la regresión
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrado medio
F0
Regresión
SCR
k
CMR=SCR/K
CMR/CME
Residual
SCE
n-k-1 o (n – p)
CME=SCE/n-p

Total
SCT
n-1



Donde k es igual al número de variables y p es el número de términos de la ecuación (p=k+1).
SCT corresponde a la variación total de los valores de y irespecto a su media.
SCR corresponde a la suma de cuadrados explicada por la influencia no lineal de X (parábola), se denomina variación explicada.
SCE corresponde a la suma de los cuadrados de los errores , se denomina variación residual no explicada
Para la adecuación del modelo se realiza el análisis de residuos mediante gráficos similares al estudiado para el caso de la recta de regresión.EJEMPLO:
Una compañía de electricidad está interesada en estimar el consumo mensual de energía eléctrica de una vivienda en función del tamaño de la misma. Considerando una muestra de 10 viviendas se obtuvieron los siguientes datos:

X, tamaño de la casa : 1290 1350 1470 1600 1710 1840 1980 2230 2400 2930
(en pies2)
Y, consumo mensual : 1182 1172 1264 1493 1571 17111804 1840 1956 1954
(en kilowatts / hora)

La ecuación estimada es Y’ = -1216.14389 + 2.39893X – 0.00045X2

Se puede usar esta ecuación para estimar el consumo de electricidad de una vivienda que tiene 1500 pies cuadrados.

Y’ = -1216.14389 + 2.39893(1500) – 0.00045(1500)2

Para evaluar la bondad del ajuste se utiliza:

El error estándar de estimación: S yx = [ ∑ (yi-)2/ n-p ]...