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Año académico: 2006-2007


I.E.S. “La Ería”


Departamento Didáctico de Matemáticas


Nivel: ESO
2º ciclo



Complementos teórico-prácticos.
Tema: Intervalos en la recta real.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y pro­fesor agregado de Matemáticas en E.S.

Intervalos.


Definición: se llama intervalo en la Recta Real, a todosubconjunto de la misma comprendido entre dos puntos fijos llamados extremos.
Ejemplo de Intervalo: , donde a es el extremo inferior del in­tervalo y b es el extremo superior del mismo, además .
OBSERVACIONES que conviene recordar:
se lee “a menor que b”, es una desigualdad estricta.
se lee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta.
Como puedes observar, lo mismo se puede leer de dos formasdistintas, ya que si a es menor que b entonces es que b es mayor que a, lo cual nos recuerda que toda desigualdad, a < b, al igual que toda igualdad, en matemáticas se puede leer en dos sentidos, de izquierda a derecha, “a < b, a menor que b” o de derecha a izquierda, “b > a, b mayor que a”. En cual­quier caso el vértice del ángulo siempre apunta al menor de los núme­ros.
se lee “a menor o igualque b” y si cambiamos el sentido de la lec­tura leeríamos , “b mayor o igual que a”, son desigualdades no estrictas. Como puedes obser­var, el vértice del ángulo sigue apun­tando al menor de los números.
Si , entonces no queda más remedio que concluir que a = b.
Cuando a y b no son iguales ponemos .
Propiedad transitiva, si y , entonces , dicho lo mismo de otro modo,
.
Si se multiplicanlos dos miembros de una desigualdad por un mismo nú­mero, positivo, la desigualdad no varía
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desi­gualdad por un mismo número negativo, cambia el sentido de la desigualdad, así, si .
Si dos números, cualesquiera, cumplen una determinada desi­gualdad, sus inversos cumplen la desigualdad contraria, así, si .

Clases de intervalos:
Abierto: esaquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos.
En otras palabras , observa que se trata de desigualdades estrictas.
También se expresa en ocasiones como .


Gráficamente:

Cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos lospuntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo.
En otras palabras , observa que ahora no se trata de desigualdades estrictas.


Gráficamente:

Semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte delintervalo.
Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras pala­bras , observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.
También se expresa en ocasiones como .
Semiabierto por la izquierda, o semicerrado por la derecha, el extremo inferior no forma parte del intervalo,pero el superior si, en otras pala­bras , observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.
También se expresa en ocasiones como .



Gráficamente:

Semirrectas reales:
Semirrecta de los números positivos , es decir, desde cero hasta infinito.
Semirrecta de los números negativos , es decir, desde el me­nos infinito, el infinito negativo, hastacero.
Con lo que toda la recta de los números reales sería .
Cotas:
Definición: son todos los números reales que son mayores que el extremo superior de un intervalo, o menores que el extremo inferior del mismo.
Clases:
Cotas Superiores: son todos los números reales mayores o iguales que el extremo superior del intervalo.
Extremo superior o Supremo: es la menor de las cotas superio­res....