relacion

Ley del seno y coseno
 
 
 
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las  funciones seno y coseno.
En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a
Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de untriángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
 

 
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan
 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b
Para cualquier triangulo se verificael Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:
           
a2 = b2 + c2 − 2bc * cos(A)
 
b2 = a2 + c2 − 2ac * cos(B) 
 
c2 = a2 + b2 − 2ab * cos(C)





Supongamos que tenemos estos 2 puntos en el plano cartesiano u ortogonal.

A ( 2,4 ) y B ( 3 , 6 )

Hallar la distancia entre esos puntos:

Entonces le damos nombre a esas coordenadas.

x₁ = 2
y₁ = 4
--
x₂ = 3
y₂ = 6

Empleando la fòrmula de la distancia entre 2 puntos:

d = √ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

Reemplazo el valor de cada nombresito que le pusimos

d = √ (3 - 2)² + (6 - 4)²

[Realizando lo que està dentro de parèntesis]

d = √ (1)² + (2)²[Elevamos ambos tèrminos al cuadrado]

d = √ 1 + 4

d = √ 5

La distancia es la raiz de 5

Osea: 2. 236067 ...

Y eso es todo..

Resuelto.



Distancia entre dos puntos
 
Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las  utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que,a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 =9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se debenubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)









d = 5 unidades
Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. 
  
 La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d=  esta dada por:
 
(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta  
 


Figura 1

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el puntoR, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:



Pero:  ;  y 

Luego, 

  


  
En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.
El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y  P2 no afecta el valor de la distancia.
 








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