RELACIONES DE ORDEN

RELACIONES DE ORDEN

1. En el conjunto de los seres humanos considere la relación “es el hijo o hija de”. ¿Es una relación de orden? ¿Cómo se puede extender a una relación de orden?
2. Considereel conjunto de los números reales con el orden ≤ usual y sea considere:
A = {(-1)ᶯ(1-⅟n) : n= 1,2,3,…}.
Halle inf A y sup
Solución:
A = {0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,…,1}
Inf = -1
Sup = 1
3.hallar, si los hay, los elementos maximales, minimales, máximo y mínimo para los siguientes conjuntos ordenados:
a. (P(X),)
b. ((0,1), ≥)
c. (INI)
d. (IN-{1}, I)
4. En cada uno de los casossiguientes, dígase si el conjunto A tiene o no una cota inferior, y si tiene alguna hállese su ínfimo si existe:
a. A = {xϵz; x² ≤ 16)
Solución:
x≤4
(-∞, 4]
R/ no se puede determinar una cota inferior.b. A = {xϵz; x = 2y para algún yϵz}
c. A = {xϵz; x² ≤ 100x}
Solución:
x ≤ 10x
x/x ≤ 10
1 ≤ 10
(1, 10]
R/ cota inferior = 1
5. Sea T = {a, b, c, d, e, f, g} la lista de tareas para realizar untrabajo, de las que se sabe que unas preceden inmediatamente a otras de la siguiente forma: f≤a, f≤d, e≤b, c≤f, e≤c, b≤f, e≤g, g≤f. Hallar el orden parcial. ¿Qué tareas pueden realizarseindependientemente? Construir un orden si el trabajo lo realizaría solo una persona.
Solución:
d
a
f
g


b
e
Las tareas que pueden realizarse independientemente launa de las otras son las d y e.
d
a
f
c
e
g
b

6. Dado el conjunto B = {2, 4, 6, 10, 12, 30}, se define en la siguiente relación: xRy si “x divide a y”

a. Demostrar que es una relación deorden. ¿Es total o parcial?
b. Dibujar el diagrama de Hasse y hallar la matriz asociada a la relación.
c. Dado C = {4, 6}, subconjunto de B, hallar sus elementos característicos.
Solución:
a. R ={(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 10), (2, 12), (2, 30), (4, 4), (4, 12), (6, 6), (6, 12), (6, 30), (10, 10), (10, 30), (12, 12), (30, 30)}
R es reflexiva (si), 30ϵB y (30, 30) ϵR
R es antisimétrica...