Relacion De Orden

* RELACION DE ORDEN

Una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto.

Sea  un conjunto dado no vacío y  una relación binaria definida en , entonces se dice que  es una relación de orden1 si cumple las siguientes propiedades:
1. Reflexividad: Todo elemento de  está relacionado consigo mismo. Es decir, .
2. Antisimetría: Si dos elementos de  se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, 
3. Transitividad: Si un elemento de  está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, 
Una relación de orden  sobre un conjunto  puede denotarse con el par ordenado .

Relación de ordentotal
Sea  un conjunto dado,  es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de  se relacionan entre sí, es decir,
.
Ejemplo  es totalmente ordenado. En efecto, es:
Reflexivo:  entonces  (porque por definición, )
Antisimétrico:  si  y  entonces  

Transitivo:  si  y  entonces

Relación de orden parcial
Sea  un conjunto dado,  es una relación de orden parcial si y solosi al menos un par de elementos de  se relacionan entre sí, es decir,
tal que .
Ejemplo. Sea el conjunto  y el conjunto potencia de , definido por:

Entonces  es parcialmente ordenado, pues sean

pero 
Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.
Relación de orden densa
Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X sedice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (x ≤ y y x ≠ y), existe otro z en X tal que x < z <y.
* Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q1 < q2 entonces tenemos que q3 := (q1+q2)/2 satisface que: q1 < q3 < q2.
* Ejemplo 2: Los números enteros por otro ladocon la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.
* ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Las ecuaciones con valor absoluto (también existen inecuaciones con valor absoluto) son aquellas donde tienes encerrados algunos términos en vez de con paréntesis con barras.
El valor absoluto es siempre positivo. Puesse parte del siguiente concepto:
IxI=x si y sólo si x>0
IxI= -x si y sólo si x<0
qué quiere decir esto?:
I3I=3 pues x>0
I3I= - (-3) pues x<0
I3I= +3 aplicando la regla de signos.
Con este concepto, todos los números son convertidos en positivos... por ello se asocia con distancia.

Las barras se leen como el valor absoluto de lo que está dentro de ellas.
En el valor absolutono importa en qué lado de la recta real está representado el número.
De modo general, el valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir está a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo,entonces |a| = −a.

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:
Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos.
Veamos los siguientes ejemplos
Ejemplo 1
A ) 
b) 
Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.
c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2, pues x − 2 > 0. Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la...