Relaciones y Funciones

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BUCARAMANGA PROF. ANA D. LOPEZ

FUNCIONES
En la vida cotidiana encontramos gran variedad de situaciones donde unas magnitudes o cantidades dependen unas de otras, es decir, se relacionan entre sí bajo una condición determinada. Por ejemplo: ¿Qué es necesario tener en cuenta para que un sembradío de árboles frutales produzca frutos de calidad óptima?

Condicionesclimáticas, clase de tierra, variedad de árboles frutales, distancia entre los árboles, abono, sistema de riego, poda, fumigación, entre otros. Es decir, la producción óptima de frutas depende de una serie de condiciones. En los siguientes ejemplos podemos también identificar relaciones que se establecen entre las magnitudes que se involucran en cada situación dada. El ingreso que se obtiene por laventa de cierto producto depende del número de artículos y del precio de cada uno. El área de un rectángulo depende de las longitudes de los lados
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El volumen de una esfera depende de la longitud del radio de la misma La utilidad que se espera por la venta de ciertos artículos puede depender del ingreso por venta y de los costos por producción. El salario que se paga a una persona quetrabaja a destajo puede depender del número de artículos fabricados y del valor que se paga por cada uno. La velocidad de un automóvil depende del espacio recorrido y el tiempo utilizado. La cantidad de hojas que digita una secretaria depende del tiempo que requiere para desarrollar la tarea y del número de palabras por minuto que es capaz de realizar.

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La reducción de artículosen bodega depende de la venta y de la durabilidad de los mismos.

Esta relación de dependencia nos conduce al concepto de función. Revisemos este concepto desde el campo de las Matemáticas. Una función ante todo es una relación. Existe un conjunto de partida y uno de llegada, puesto que los elementos de ambos conjuntos se relacionan a partir de una condición dada. Matemáticamente una función f deA en B, f: A  B se define como: "Una regla que asigna a cada elemento x del conjunto A, un único elemento y del conjunto de B tal que y=f(x)" Observemos las siguientes gráficas de relaciones dadas y determinemos por qué son o no funciones:

un elemento de A está D(R1) = A, relacionado con dos elementos diferentes de B. Por lo tanto la Relación No es Función.

D(R4) = A, para cada uno de loselementos de A existe un elemento de B. La Relación Sí es función. 2

Con las relaciones R1 y R2 concluimos que NO TODA RELACIÓN ES FUNCIÓN; la proposición TODA FUNCIÓN ES RELACIÓN es verdadera Ahora, miremos ejemplos de relaciones reales que NO son funciones y otras que sí son funciones:

y

x

D(R) = [x1,x2], para cada uno de los elementos del Dominio existen dos elementos diferentesdel rango. La Relación No es función.

Para cada uno de los elementos del Dominio existe un elemento diferente del rango. En este caso, D(R)=R La Relación SI es función.

La función y=f(x) indica que "para cada elemento x existe un único elemento y", es decir los valores de y dependen de los valores que se le asignen a x; x es la variable independiente y, y es la variable dependiente A lafunción f se le llama modelo matemático para el concepto que está representando. Por ejemplo: f(r) = r2. Al darle valores a r, se obtiene el área de un círculo de radio r.

P(t)=0,008303e0,013623t es un modelo para representar el crecimiento aproximado de una población en un tiempo t. Cómo se hallan los valores de y=f(x)?. Para hallar el valor de y, se reemplaza en la expresión dada o modelo lavariable x por el valor dado o por un número "apropiado". Ejemplo: Sea y= f(x)= 2x2+1 f(0) = 0+1 = 1 f(±1) = 2+1 = 3 f(±2) = 8+1 =9
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f(±2) = 2(±2)2 + 1=4+1=5 f(h) = 2h2 + 1 f(x+1)= 2(x+1)2 + 1  f(x+1) = 2(x2+2x+1)+1= 2x2+4x+2+1=2x2+4x+3 f(2x-3) = 2(2x-3)2 + 1  f(2x-3) = 2(4x2-12x +9)+1= 8x2-24x+19

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CLASES DE FUNCIONES REALES 1. Funciones Algebraicas a) Funciones Polinómicas  i)...